Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70563 / 95326
↖ ↑ ↗
← S 63.032548°
E 13.807068°		 ← 138.51 m → S 63.032548°
E 13.809814°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
S 63.033794°
E 13.807068°		 ← 138.50 m →
19 183 m²		 S 63.033794°
E 13.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538356781005859 y=0.727283477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538356781005859 × 217)
    floor (0.538356781005859 × 131072)
    floor (70563.5)     		tx = 70563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727283477783203 × 217)
    floor (0.727283477783203 × 131072)
    floor (95326.5)     		ty = 95326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70563 / 95326 ti = "17/70563/95326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70563/95326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70563 ÷ 217
    70563 ÷ 131072     		x = 0.538352966308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95326 ÷ 217
    95326 ÷ 131072     		y = 0.727279663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538352966308594 × 2 - 1) × π
    0.0767059326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24097879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727279663085938 × 2 - 1) × π
    -0.454559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42804023968147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24097879} λ = 0.24097879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42804023968147))-π/2
    2×atan(0.239778370225952)-π/2
    2×0.235335411017709-π/2
    0.470670822035417-1.57079632675     		φ = -1.10012550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24097879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.807068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10012550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.032548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70563 KachelY 95326 0.24097879 -1.10012550 13.807068 -63.032548
    Oben rechts KachelX + 1 70564 KachelY 95326 0.24102673 -1.10012550 13.809814 -63.032548
    Unten links KachelX 70563 KachelY + 1 95327 0.24097879 -1.10014724 13.807068 -63.033794
    Unten rechts KachelX + 1 70564 KachelY + 1 95327 0.24102673 -1.10014724 13.809814 -63.033794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10012550--1.10014724) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10012550--1.10014724) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24097879-0.24102673) × cos(-1.10012550) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453484271330057 × 6371000     		do = 138.505769149333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24097879-0.24102673) × cos(-1.10014724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453464895137461 × 6371000     		du = 138.499851161371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10012550)-sin(-1.10014724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453484271330057-0.453464895137461)×R²
    abs(0.24102673-0.24097879)×1.93761925962321e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93761925962321e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93761925962321e-05×40589641000000     		ar = 19183.4065129664m²