Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70561 / 96545
↖ ↑ ↗
← S 64.511825°
E 13.801575°		 ← 131.43 m → S 64.511825°
E 13.804321°		 →
↑
131.43 m
↓
↑
131.43 m
↓
S 64.513007°
E 13.801575°		 ← 131.43 m →
17 274 m²		 S 64.513007°
E 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538341522216797 y=0.736583709716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538341522216797 × 217)
    floor (0.538341522216797 × 131072)
    floor (70561.5)     		tx = 70561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736583709716797 × 217)
    floor (0.736583709716797 × 131072)
    floor (96545.5)     		ty = 96545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70561 / 96545 ti = "17/70561/96545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70561/96545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70561 ÷ 217
    70561 ÷ 131072     		x = 0.538337707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96545 ÷ 217
    96545 ÷ 131072     		y = 0.736579895019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538337707519531 × 2 - 1) × π
    0.0766754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24088292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736579895019531 × 2 - 1) × π
    -0.473159790039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.48647532031832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24088292} λ = 0.24088292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48647532031832))-π/2
    2×atan(0.226168423549049)-π/2
    2×0.222426286030461-π/2
    0.444852572060922-1.57079632675     		φ = -1.12594375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24088292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.801575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12594375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.511825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70561 KachelY 96545 0.24088292 -1.12594375 13.801575 -64.511825
    Oben rechts KachelX + 1 70562 KachelY 96545 0.24093086 -1.12594375 13.804321 -64.511825
    Unten links KachelX 70561 KachelY + 1 96546 0.24088292 -1.12596438 13.801575 -64.513007
    Unten rechts KachelX + 1 70562 KachelY + 1 96546 0.24093086 -1.12596438 13.804321 -64.513007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12594375--1.12596438) × R
    2.0630000000077e-05 × 6371000     		dl = 131.43373000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12594375--1.12596438) × R
    2.0630000000077e-05 × 6371000     		dr = 131.43373000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24088292-0.24093086) × cos(-1.12594375) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430324809866438 × 6371000     		do = 131.432273493806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24088292-0.24093086) × cos(-1.12596438) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430306187607873 × 6371000     		du = 131.426585776703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12594375)-sin(-1.12596438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430324809866438-0.430306187607873)×R²
    abs(0.24093086-0.24088292)×1.86222585650264e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86222585650264e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86222585650264e-05×40589641000000     		ar = 17274.2601694947m²