Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70561 / 95327
↖ ↑ ↗
← S 63.033794°
E 13.801575°		 ← 138.50 m → S 63.033794°
E 13.804321°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
S 63.035039°
E 13.801575°		 ← 138.49 m →
19 183 m²		 S 63.035039°
E 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538341522216797 y=0.727291107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538341522216797 × 217)
    floor (0.538341522216797 × 131072)
    floor (70561.5)     		tx = 70561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727291107177734 × 217)
    floor (0.727291107177734 × 131072)
    floor (95327.5)     		ty = 95327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70561 / 95327 ti = "17/70561/95327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70561/95327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70561 ÷ 217
    70561 ÷ 131072     		x = 0.538337707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95327 ÷ 217
    95327 ÷ 131072     		y = 0.727287292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538337707519531 × 2 - 1) × π
    0.0766754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24088292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727287292480469 × 2 - 1) × π
    -0.454574584960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.42808817658109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24088292} λ = 0.24088292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42808817658109))-π/2
    2×atan(0.239766876269782)-π/2
    2×0.235324541935004-π/2
    0.470649083870007-1.57079632675     		φ = -1.10014724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24088292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.801575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10014724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.033794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70561 KachelY 95327 0.24088292 -1.10014724 13.801575 -63.033794
    Oben rechts KachelX + 1 70562 KachelY 95327 0.24093086 -1.10014724 13.804321 -63.033794
    Unten links KachelX 70561 KachelY + 1 95328 0.24088292 -1.10016898 13.801575 -63.035039
    Unten rechts KachelX + 1 70562 KachelY + 1 95328 0.24093086 -1.10016898 13.804321 -63.035039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10014724--1.10016898) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10014724--1.10016898) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24088292-0.24093086) × cos(-1.10014724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453464895137461 × 6371000     		do = 138.499851161371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24088292-0.24093086) × cos(-1.10016898) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453445518730545 × 6371000     		du = 138.49393310795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10014724)-sin(-1.10016898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453464895137461-0.453445518730545)×R²
    abs(0.24093086-0.24088292)×1.93764069162938e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93764069162938e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93764069162938e-05×40589641000000     		ar = 19182.5868339755m²