Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70561 / 95325
↖ ↑ ↗
← S 63.031303°
E 13.801575°		 ← 138.51 m → S 63.031303°
E 13.804321°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
S 63.032548°
E 13.801575°		 ← 138.51 m →
19 175 m²		 S 63.032548°
E 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538341522216797 y=0.727275848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538341522216797 × 217)
    floor (0.538341522216797 × 131072)
    floor (70561.5)     		tx = 70561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727275848388672 × 217)
    floor (0.727275848388672 × 131072)
    floor (95325.5)     		ty = 95325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70561 / 95325 ti = "17/70561/95325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70561/95325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70561 ÷ 217
    70561 ÷ 131072     		x = 0.538337707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95325 ÷ 217
    95325 ÷ 131072     		y = 0.727272033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538337707519531 × 2 - 1) × π
    0.0766754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24088292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727272033691406 × 2 - 1) × π
    -0.454544067382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.42799230278185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24088292} λ = 0.24088292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42799230278185))-π/2
    2×atan(0.23978986473312)-π/2
    2×0.235346280564799-π/2
    0.470692561129599-1.57079632675     		φ = -1.10010377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24088292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.801575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10010377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.031303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70561 KachelY 95325 0.24088292 -1.10010377 13.801575 -63.031303
    Oben rechts KachelX + 1 70562 KachelY 95325 0.24093086 -1.10010377 13.804321 -63.031303
    Unten links KachelX 70561 KachelY + 1 95326 0.24088292 -1.10012550 13.801575 -63.032548
    Unten rechts KachelX + 1 70562 KachelY + 1 95326 0.24093086 -1.10012550 13.804321 -63.032548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10010377--1.10012550) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10010377--1.10012550) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24088292-0.24093086) × cos(-1.10010377) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.45350363839578 × 6371000     		do = 138.511684349713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24088292-0.24093086) × cos(-1.10012550) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.453484271330057 × 6371000     		du = 138.505769149333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10010377)-sin(-1.10012550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45350363839578-0.453484271330057)×R²
    abs(0.24093086-0.24088292)×1.93670657229195e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93670657229195e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93670657229195e-05×40589641000000     		ar = 19175.4016028987m²