Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7056 / 3723
↖ ↑ ↗
← N 69.572896°
W 24.960937°		 ← 852.72 m → N 69.572896°
W 24.938965°		 →
↑
852.89 m
↓
↑
852.89 m
↓
N 69.565226°
W 24.960937°		 ← 853.03 m →
727 403 m²		 N 69.565226°
W 24.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430694580078125 y=0.227264404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430694580078125 × 214)
    floor (0.430694580078125 × 16384)
    floor (7056.5)     		tx = 7056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227264404296875 × 214)
    floor (0.227264404296875 × 16384)
    floor (3723.5)     		ty = 3723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7056 / 3723 ti = "14/7056/3723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7056/3723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7056 ÷ 214
    7056 ÷ 16384     		x = 0.4306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3723 ÷ 214
    3723 ÷ 16384     		y = 0.22723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4306640625 × 2 - 1) × π
    -0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22723388671875 × 2 - 1) × π
    0.5455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71384003521625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43565054} λ = -0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71384003521625))-π/2
    2×atan(5.55023370131162)-π/2
    2×1.39253621671611-π/2
    2.78507243343221-1.57079632675     		φ = 1.21427611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21427611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.572896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7056 KachelY 3723 -0.43565054 1.21427611 -24.960937 69.572896
    Oben rechts KachelX + 1 7057 KachelY 3723 -0.43526705 1.21427611 -24.938965 69.572896
    Unten links KachelX 7056 KachelY + 1 3724 -0.43565054 1.21414224 -24.960937 69.565226
    Unten rechts KachelX + 1 7057 KachelY + 1 3724 -0.43526705 1.21414224 -24.938965 69.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21427611-1.21414224) × R
    0.00013386999999998 × 6371000     		dl = 852.885769999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21427611-1.21414224) × R
    0.00013386999999998 × 6371000     		dr = 852.885769999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43565054--0.43526705) × cos(1.21427611) × R
    0.000383489999999986 × 0.349015388975861 × 6371000     		do = 852.719560283397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43565054--0.43526705) × cos(1.21414224) × R
    0.000383489999999986 × 0.349140837699934 × 6371000     		du = 853.026058461438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21427611)-sin(1.21414224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349015388975861-0.349140837699934)×R²
    abs(-0.43526705--0.43565054)×0.000125448724072719×R²
    0.000383489999999986×0.000125448724072719×6371000²
    0.000383489999999986×0.000125448724072719×40589641000000     		ar = 727403.083821056m²