Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70559 / 95259
↖ ↑ ↗
← S 62.948978°
E 13.796082°		 ← 138.87 m → S 62.948978°
E 13.798828°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
S 62.950227°
E 13.796082°		 ← 138.87 m →
19 287 m²		 S 62.950227°
E 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538326263427734 y=0.726772308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538326263427734 × 217)
    floor (0.538326263427734 × 131072)
    floor (70559.5)     		tx = 70559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726772308349609 × 217)
    floor (0.726772308349609 × 131072)
    floor (95259.5)     		ty = 95259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70559 / 95259 ti = "17/70559/95259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70559/95259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70559 ÷ 217
    70559 ÷ 131072     		x = 0.538322448730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95259 ÷ 217
    95259 ÷ 131072     		y = 0.726768493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538322448730469 × 2 - 1) × π
    0.0766448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24078705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726768493652344 × 2 - 1) × π
    -0.453536987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.42482846740693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24078705} λ = 0.24078705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42482846740693))-π/2
    2×atan(0.240549721787186)-π/2
    2×0.23606469816573-π/2
    0.47212939633146-1.57079632675     		φ = -1.09866693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24078705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.796082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09866693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.948978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70559 KachelY 95259 0.24078705 -1.09866693 13.796082 -62.948978
    Oben rechts KachelX + 1 70560 KachelY 95259 0.24083498 -1.09866693 13.798828 -62.948978
    Unten links KachelX 70559 KachelY + 1 95260 0.24078705 -1.09868873 13.796082 -62.950227
    Unten rechts KachelX + 1 70560 KachelY + 1 95260 0.24083498 -1.09868873 13.798828 -62.950227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09866693--1.09868873) × R
    2.17999999998497e-05 × 6371000     		dl = 138.887799999043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09866693--1.09868873) × R
    2.17999999998497e-05 × 6371000     		dr = 138.887799999043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24078705-0.24083498) × cos(-1.09866693) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454783759831935 × 6371000     		do = 138.873692113317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24078705-0.24083498) × cos(-1.09868873) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454764344602604 × 6371000     		du = 138.867763439475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09866693)-sin(-1.09868873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454783759831935-0.454764344602604)×R²
    abs(0.24083498-0.24078705)×1.94152293311878e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.94152293311878e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.94152293311878e-05×40589641000000     		ar = 19287.4498659729m²