Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70555 / 96485
↖ ↑ ↗
← S 64.440818°
E 13.785095°		 ← 131.77 m → S 64.440818°
E 13.787842°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
S 64.442002°
E 13.785095°		 ← 131.77 m →
17 361 m²		 S 64.442002°
E 13.787842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538295745849609 y=0.736125946044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538295745849609 × 217)
    floor (0.538295745849609 × 131072)
    floor (70555.5)     		tx = 70555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736125946044922 × 217)
    floor (0.736125946044922 × 131072)
    floor (96485.5)     		ty = 96485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70555 / 96485 ti = "17/70555/96485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70555/96485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70555 ÷ 217
    70555 ÷ 131072     		x = 0.538291931152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96485 ÷ 217
    96485 ÷ 131072     		y = 0.736122131347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538291931152344 × 2 - 1) × π
    0.0765838623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24059530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736122131347656 × 2 - 1) × π
    -0.472244262695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.48359910634112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24059530} λ = 0.24059530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48359910634112))-π/2
    2×atan(0.226819868728833)-π/2
    2×0.223045943037123-π/2
    0.446091886074246-1.57079632675     		φ = -1.12470444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24059530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.785095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12470444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.440818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70555 KachelY 96485 0.24059530 -1.12470444 13.785095 -64.440818
    Oben rechts KachelX + 1 70556 KachelY 96485 0.24064324 -1.12470444 13.787842 -64.440818
    Unten links KachelX 70555 KachelY + 1 96486 0.24059530 -1.12472512 13.785095 -64.442002
    Unten rechts KachelX + 1 70556 KachelY + 1 96486 0.24064324 -1.12472512 13.787842 -64.442002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12470444--1.12472512) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12470444--1.12472512) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24059530-0.24064324) × cos(-1.12470444) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43144317217203 × 6371000     		do = 131.773850128579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24059530-0.24064324) × cos(-1.12472512) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431424515822173 × 6371000     		du = 131.768151999119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12470444)-sin(-1.12472512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43144317217203-0.431424515822173)×R²
    abs(0.24064324-0.24059530)×1.8656349856927e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8656349856927e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8656349856927e-05×40589641000000     		ar = 17361.1298286631m²