Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70550 / 95396
↖ ↑ ↗
← S 63.119605°
E 13.771362°		 ← 138.09 m → S 63.119605°
E 13.774109°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
S 63.120847°
E 13.771362°		 ← 138.09 m →
19 073 m²		 S 63.120847°
E 13.774109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538257598876953 y=0.727817535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538257598876953 × 217)
    floor (0.538257598876953 × 131072)
    floor (70550.5)     		tx = 70550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727817535400391 × 217)
    floor (0.727817535400391 × 131072)
    floor (95396.5)     		ty = 95396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70550 / 95396 ti = "17/70550/95396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70550/95396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70550 ÷ 217
    70550 ÷ 131072     		x = 0.538253784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95396 ÷ 217
    95396 ÷ 131072     		y = 0.727813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538253784179688 × 2 - 1) × π
    0.076507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24035561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.45562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43139582265488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24035561} λ = 0.24035561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43139582265488))-π/2
    2×atan(0.238975122445429)-π/2
    2×0.234575695878582-π/2
    0.469151391757165-1.57079632675     		φ = -1.10164493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24035561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.771362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10164493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.119605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70550 KachelY 95396 0.24035561 -1.10164493 13.771362 -63.119605
    Oben rechts KachelX + 1 70551 KachelY 95396 0.24040355 -1.10164493 13.774109 -63.119605
    Unten links KachelX 70550 KachelY + 1 95397 0.24035561 -1.10166661 13.771362 -63.120847
    Unten rechts KachelX + 1 70551 KachelY + 1 95397 0.24040355 -1.10166661 13.774109 -63.120847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10164493--1.10166661) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dl = 138.12328000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10164493--1.10166661) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dr = 138.12328000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24035561-0.24040355) × cos(-1.10164493) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452129534695042 × 6371000     		do = 138.091997710078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24035561-0.24040355) × cos(-1.10166661) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452110197063187 × 6371000     		du = 138.086091499559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10164493)-sin(-1.10166661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452129534695042-0.452110197063187)×R²
    abs(0.24040355-0.24035561)×1.9337631855354e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9337631855354e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9337631855354e-05×40589641000000     		ar = 19073.3117737655m²