Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7055 / 9390
↖ ↑ ↗
← N 60.683939°
W102.491455°		 ← 598.15 m → N 60.683939°
W102.480469°		 →
↑
598.17 m
↓
↑
598.17 m
↓
N 60.678559°
W102.491455°		 ← 598.25 m →
357 826 m²		 N 60.678559°
W102.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215316772460938 y=0.286575317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215316772460938 × 215)
    floor (0.215316772460938 × 32768)
    floor (7055.5)     		tx = 7055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286575317382812 × 215)
    floor (0.286575317382812 × 32768)
    floor (9390.5)     		ty = 9390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7055 / 9390 ti = "15/7055/9390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7055/9390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7055 ÷ 215
    7055 ÷ 32768     		x = 0.215301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9390 ÷ 215
    9390 ÷ 32768     		y = 0.28656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.215301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.56939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.78881335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28656005859375 × 2 - 1) × π
    0.4268798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.34108270377069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78881335} λ = -1.78881335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34108270377069))-π/2
    2×atan(3.82318063741012)-π/2
    2×1.31496543067866-π/2
    2.62993086135731-1.57079632675     		φ = 1.05913453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78881335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.491455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05913453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.683939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7055 KachelY 9390 -1.78881335 1.05913453 -102.491455 60.683939
    Oben rechts KachelX + 1 7056 KachelY 9390 -1.78862160 1.05913453 -102.480469 60.683939
    Unten links KachelX 7055 KachelY + 1 9391 -1.78881335 1.05904064 -102.491455 60.678559
    Unten rechts KachelX + 1 7056 KachelY + 1 9391 -1.78862160 1.05904064 -102.480469 60.678559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05913453-1.05904064) × R
    9.38899999998188e-05 × 6371000     		dl = 598.173189998846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05913453-1.05904064) × R
    9.38899999998188e-05 × 6371000     		dr = 598.173189998846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78881335--1.78862160) × cos(1.05913453) × R
    0.000191750000000157 × 0.489626896173629 × 6371000     		do = 598.14743422187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78881335--1.78862160) × cos(1.05904064) × R
    0.000191750000000157 × 0.489708759715718 × 6371000     		du = 598.24744193803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05913453)-sin(1.05904064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489626896173629-0.489708759715718)×R²
    abs(-1.78862160--1.78881335)×8.18635420890002e-05×R²
    0.000191750000000157×8.18635420890002e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.18635420890002e-05×40589641000000     		ar = 357825.670048498m²