Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7055 / 5389
↖ ↑ ↗
← N 52.308479°
W 24.982910°		 ← 1 493.84 m → N 52.308479°
W 24.960937°		 →
↑
1 494.06 m
↓
↑
1 494.06 m
↓
N 52.295042°
W 24.982910°		 ← 1 494.30 m →
2 232 237 m²		 N 52.295042°
W 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430633544921875 y=0.328948974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430633544921875 × 214)
    floor (0.430633544921875 × 16384)
    floor (7055.5)     		tx = 7055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328948974609375 × 214)
    floor (0.328948974609375 × 16384)
    floor (5389.5)     		ty = 5389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7055 / 5389 ti = "14/7055/5389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7055/5389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7055 ÷ 214
    7055 ÷ 16384     		x = 0.43060302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5389 ÷ 214
    5389 ÷ 16384     		y = 0.32891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43060302734375 × 2 - 1) × π
    -0.1387939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43603404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32891845703125 × 2 - 1) × π
    0.3421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07493703708014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43603404} λ = -0.43603404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07493703708014))-π/2
    2×atan(2.92980842543312)-π/2
    2×1.24187575273405-π/2
    2.48375150546811-1.57079632675     		φ = 0.91295518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43603404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91295518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.308479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7055 KachelY 5389 -0.43603404 0.91295518 -24.982910 52.308479
    Oben rechts KachelX + 1 7056 KachelY 5389 -0.43565054 0.91295518 -24.960937 52.308479
    Unten links KachelX 7055 KachelY + 1 5390 -0.43603404 0.91272067 -24.982910 52.295042
    Unten rechts KachelX + 1 7056 KachelY + 1 5390 -0.43565054 0.91272067 -24.960937 52.295042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91295518-0.91272067) × R
    0.000234509999999966 × 6371000     		dl = 1494.06320999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91295518-0.91272067) × R
    0.000234509999999966 × 6371000     		dr = 1494.06320999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43603404--0.43565054) × cos(0.91295518) × R
    0.000383500000000037 × 0.611409947277127 × 6371000     		do = 1493.84477886848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43603404--0.43565054) × cos(0.91272067) × R
    0.000383500000000037 × 0.611595501513751 × 6371000     		du = 1494.29813954541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91295518)-sin(0.91272067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611409947277127-0.611595501513751)×R²
    abs(-0.43565054--0.43603404)×0.000185554236624363×R²
    0.000383500000000037×0.000185554236624363×6371000²
    0.000383500000000037×0.000185554236624363×40589641000000     		ar = 2232237.21054284m²