Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70548 / 95548
↖ ↑ ↗
← S 63.307748°
E 13.765869°		 ← 137.20 m → S 63.307748°
E 13.768616°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
S 63.308982°
E 13.765869°		 ← 137.19 m →
18 819 m²		 S 63.308982°
E 13.768616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538242340087891 y=0.728977203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538242340087891 × 217)
    floor (0.538242340087891 × 131072)
    floor (70548.5)     		tx = 70548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728977203369141 × 217)
    floor (0.728977203369141 × 131072)
    floor (95548.5)     		ty = 95548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70548 / 95548 ti = "17/70548/95548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70548/95548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70548 ÷ 217
    70548 ÷ 131072     		x = 0.538238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95548 ÷ 217
    95548 ÷ 131072     		y = 0.728973388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538238525390625 × 2 - 1) × π
    0.07647705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24025974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728973388671875 × 2 - 1) × π
    -0.45794677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43868223139713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24025974} λ = 0.24025974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43868223139713))-π/2
    2×atan(0.237240180448249)-π/2
    2×0.232933839659686-π/2
    0.465867679319371-1.57079632675     		φ = -1.10492865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24025974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.765869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10492865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.307748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70548 KachelY 95548 0.24025974 -1.10492865 13.765869 -63.307748
    Oben rechts KachelX + 1 70549 KachelY 95548 0.24030768 -1.10492865 13.768616 -63.307748
    Unten links KachelX 70548 KachelY + 1 95549 0.24025974 -1.10495018 13.765869 -63.308982
    Unten rechts KachelX + 1 70549 KachelY + 1 95549 0.24030768 -1.10495018 13.768616 -63.308982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10492865--1.10495018) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10492865--1.10495018) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24025974-0.24030768) × cos(-1.10492865) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449198180779114 × 6371000     		do = 137.196686771104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24025974-0.24030768) × cos(-1.10495018) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.449178945080963 × 6371000     		du = 137.190811693762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10492865)-sin(-1.10495018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449198180779114-0.449178945080963)×R²
    abs(0.24030768-0.24025974)×1.92356981509878e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92356981509878e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92356981509878e-05×40589641000000     		ar = 18818.5414335019m²