Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70546 / 95385
↖ ↑ ↗
← S 63.105942°
E 13.760376°		 ← 138.13 m → S 63.105942°
E 13.763122°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
S 63.107184°
E 13.760376°		 ← 138.12 m →
19 078 m²		 S 63.107184°
E 13.763122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538227081298828 y=0.727733612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538227081298828 × 217)
    floor (0.538227081298828 × 131072)
    floor (70546.5)     		tx = 70546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727733612060547 × 217)
    floor (0.727733612060547 × 131072)
    floor (95385.5)     		ty = 95385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70546 / 95385 ti = "17/70546/95385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70546/95385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70546 ÷ 217
    70546 ÷ 131072     		x = 0.538223266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95385 ÷ 217
    95385 ÷ 131072     		y = 0.727729797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538223266601562 × 2 - 1) × π
    0.076446533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24016387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727729797363281 × 2 - 1) × π
    -0.455459594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.43086851675906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24016387} λ = 0.24016387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43086851675906))-π/2
    2×atan(0.239101168665986)-π/2
    2×0.234694929198335-π/2
    0.46938985839667-1.57079632675     		φ = -1.10140647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24016387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.760376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10140647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.105942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70546 KachelY 95385 0.24016387 -1.10140647 13.760376 -63.105942
    Oben rechts KachelX + 1 70547 KachelY 95385 0.24021180 -1.10140647 13.763122 -63.105942
    Unten links KachelX 70546 KachelY + 1 95386 0.24016387 -1.10142815 13.760376 -63.107184
    Unten rechts KachelX + 1 70547 KachelY + 1 95386 0.24021180 -1.10142815 13.763122 -63.107184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10140647--1.10142815) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dl = 138.12328000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10140647--1.10142815) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dr = 138.12328000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24016387-0.24021180) × cos(-1.10140647) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.452342216780835 × 6371000     		do = 138.1281375709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24016387-0.24021180) × cos(-1.10142815) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.452322881486904 × 6371000     		du = 138.122233306295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10140647)-sin(-1.10142815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452342216780835-0.452322881486904)×R²
    abs(0.24021180-0.24016387)×1.93352939305558e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93352939305558e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93352939305558e-05×40589641000000     		ar = 19078.3036644336m²