Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70545 / 95439
↖ ↑ ↗
← S 63.172954°
E 13.757629°		 ← 137.84 m → S 63.172954°
E 13.760376°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
S 63.174194°
E 13.757629°		 ← 137.83 m →
18 994 m²		 S 63.174194°
E 13.760376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538219451904297 y=0.728145599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538219451904297 × 217)
    floor (0.538219451904297 × 131072)
    floor (70545.5)     		tx = 70545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728145599365234 × 217)
    floor (0.728145599365234 × 131072)
    floor (95439.5)     		ty = 95439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70545 / 95439 ti = "17/70545/95439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70545/95439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70545 ÷ 217
    70545 ÷ 131072     		x = 0.538215637207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95439 ÷ 217
    95439 ÷ 131072     		y = 0.728141784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538215637207031 × 2 - 1) × π
    0.0764312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24011593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728141784667969 × 2 - 1) × π
    -0.456283569335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.43345710933854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24011593} λ = 0.24011593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43345710933854))-π/2
    2×atan(0.238483033550185)-π/2
    2×0.234110139765749-π/2
    0.468220279531499-1.57079632675     		φ = -1.10257605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24011593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.757629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10257605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.172954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70545 KachelY 95439 0.24011593 -1.10257605 13.757629 -63.172954
    Oben rechts KachelX + 1 70546 KachelY 95439 0.24016387 -1.10257605 13.760376 -63.172954
    Unten links KachelX 70545 KachelY + 1 95440 0.24011593 -1.10259768 13.757629 -63.174194
    Unten rechts KachelX + 1 70546 KachelY + 1 95440 0.24016387 -1.10259768 13.760376 -63.174194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10257605--1.10259768) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10257605--1.10259768) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24011593-0.24016387) × cos(-1.10257605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451298824206133 × 6371000     		do = 137.838277344277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24011593-0.24016387) × cos(-1.10259768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451279522074995 × 6371000     		du = 137.832381976591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10257605)-sin(-1.10259768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451298824206133-0.451279522074995)×R²
    abs(0.24016387-0.24011593)×1.93021311379882e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93021311379882e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93021311379882e-05×40589641000000     		ar = 18994.360388926m²