Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70544 / 95359
↖ ↑ ↗
← S 63.073622°
E 13.754883°		 ← 138.31 m → S 63.073622°
E 13.757629°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
S 63.074866°
E 13.754883°		 ← 138.30 m →
19 130 m²		 S 63.074866°
E 13.757629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538211822509766 y=0.727535247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538211822509766 × 217)
    floor (0.538211822509766 × 131072)
    floor (70544.5)     		tx = 70544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727535247802734 × 217)
    floor (0.727535247802734 × 131072)
    floor (95359.5)     		ty = 95359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70544 / 95359 ti = "17/70544/95359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70544/95359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70544 ÷ 217
    70544 ÷ 131072     		x = 0.5382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95359 ÷ 217
    95359 ÷ 131072     		y = 0.727531433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5382080078125 × 2 - 1) × π
    0.076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24006799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727531433105469 × 2 - 1) × π
    -0.455062866210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.42962215736893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24006799} λ = 0.24006799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42962215736893))-π/2
    2×atan(0.2393993604412)-π/2
    2×0.234976976395964-π/2
    0.469953952791928-1.57079632675     		φ = -1.10084237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24006799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10084237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.073622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70544 KachelY 95359 0.24006799 -1.10084237 13.754883 -63.073622
    Oben rechts KachelX + 1 70545 KachelY 95359 0.24011593 -1.10084237 13.757629 -63.073622
    Unten links KachelX 70544 KachelY + 1 95360 0.24006799 -1.10086408 13.754883 -63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 70545 KachelY + 1 95360 0.24011593 -1.10086408 13.757629 -63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10084237--1.10086408) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dl = 138.314409999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10084237--1.10086408) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dr = 138.314409999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24006799-0.24011593) × cos(-1.10084237) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452845234237471 × 6371000     		do = 138.310590772442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24006799-0.24011593) × cos(-1.10086408) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 138.304678796987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10084237)-sin(-1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452845234237471-0.452825877730534)×R²
    abs(0.24011593-0.24006799)×1.93565069372958e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93565069372958e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93565069372958e-05×40589641000000     		ar = 19129.9389042931m²