Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70543 / 95409
↖ ↑ ↗
← S 63.135744°
E 13.752136°		 ← 137.99 m → S 63.135744°
E 13.754883°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
S 63.136986°
E 13.752136°		 ← 137.98 m →
19 050 m²		 S 63.136986°
E 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538204193115234 y=0.727916717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538204193115234 × 217)
    floor (0.538204193115234 × 131072)
    floor (70543.5)     		tx = 70543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727916717529297 × 217)
    floor (0.727916717529297 × 131072)
    floor (95409.5)     		ty = 95409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70543 / 95409 ti = "17/70543/95409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70543/95409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70543 ÷ 217
    70543 ÷ 131072     		x = 0.538200378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95409 ÷ 217
    95409 ÷ 131072     		y = 0.727912902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538200378417969 × 2 - 1) × π
    0.0764007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24002006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727912902832031 × 2 - 1) × π
    -0.455825805664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.43201900234994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24002006} λ = 0.24002006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43201900234994))-π/2
    2×atan(0.238826244395203)-π/2
    2×0.234434856055358-π/2
    0.468869712110715-1.57079632675     		φ = -1.10192661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24002006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.752136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10192661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.135744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70543 KachelY 95409 0.24002006 -1.10192661 13.752136 -63.135744
    Oben rechts KachelX + 1 70544 KachelY 95409 0.24006799 -1.10192661 13.754883 -63.135744
    Unten links KachelX 70543 KachelY + 1 95410 0.24002006 -1.10194828 13.752136 -63.136986
    Unten rechts KachelX + 1 70544 KachelY + 1 95410 0.24006799 -1.10194828 13.754883 -63.136986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10192661--1.10194828) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10192661--1.10194828) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24002006-0.24006799) × cos(-1.10192661) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.451878271641117 × 6371000     		do = 137.986466341227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24002006-0.24006799) × cos(-1.10194828) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.451858940169907 × 6371000     		du = 137.980563243936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10192661)-sin(-1.10194828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451878271641117-0.451858940169907)×R²
    abs(0.24006799-0.24002006)×1.93314712096937e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93314712096937e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93314712096937e-05×40589641000000     		ar = 19049.9447200978m²