Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70543 / 95356
↖ ↑ ↗
← S 63.069891°
E 13.752136°		 ← 138.30 m → S 63.069891°
E 13.754883°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
S 63.071135°
E 13.752136°		 ← 138.29 m →
19 128 m²		 S 63.071135°
E 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538204193115234 y=0.727512359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538204193115234 × 217)
    floor (0.538204193115234 × 131072)
    floor (70543.5)     		tx = 70543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727512359619141 × 217)
    floor (0.727512359619141 × 131072)
    floor (95356.5)     		ty = 95356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70543 / 95356 ti = "17/70543/95356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70543/95356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70543 ÷ 217
    70543 ÷ 131072     		x = 0.538200378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95356 ÷ 217
    95356 ÷ 131072     		y = 0.727508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538200378417969 × 2 - 1) × π
    0.0764007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24002006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.45501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42947834667007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24002006} λ = 0.24002006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42947834667007))-π/2
    2×atan(0.239433791106221)-π/2
    2×0.235009540478129-π/2
    0.470019080956259-1.57079632675     		φ = -1.10077725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24002006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.752136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10077725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.069891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70543 KachelY 95356 0.24002006 -1.10077725 13.752136 -63.069891
    Oben rechts KachelX + 1 70544 KachelY 95356 0.24006799 -1.10077725 13.754883 -63.069891
    Unten links KachelX 70543 KachelY + 1 95357 0.24002006 -1.10079896 13.752136 -63.071135
    Unten rechts KachelX + 1 70544 KachelY + 1 95357 0.24006799 -1.10079896 13.754883 -63.071135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10077725--1.10079896) × R
    2.17100000001746e-05 × 6371000     		dl = 138.314410001113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10077725--1.10079896) × R
    2.17100000001746e-05 × 6371000     		dr = 138.314410001113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24002006-0.24006799) × cos(-1.10077725) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.452903293562029 × 6371000     		do = 138.299469115792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24002006-0.24006799) × cos(-1.10079896) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.452883937695332 × 6371000     		du = 138.293558569045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10077725)-sin(-1.10079896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452903293562029-0.452883937695332)×R²
    abs(0.24006799-0.24002006)×1.93558666978788e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93558666978788e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93558666978788e-05×40589641000000     		ar = 19128.4007182706m²