Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70542 / 95395
↖ ↑ ↗
← S 63.118363°
E 13.749390°		 ← 138.10 m → S 63.118363°
E 13.752136°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
S 63.119605°
E 13.749390°		 ← 138.09 m →
19 065 m²		 S 63.119605°
E 13.752136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538196563720703 y=0.727809906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538196563720703 × 217)
    floor (0.538196563720703 × 131072)
    floor (70542.5)     		tx = 70542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727809906005859 × 217)
    floor (0.727809906005859 × 131072)
    floor (95395.5)     		ty = 95395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70542 / 95395 ti = "17/70542/95395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70542/95395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70542 ÷ 217
    70542 ÷ 131072     		x = 0.538192749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95395 ÷ 217
    95395 ÷ 131072     		y = 0.727806091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538192749023438 × 2 - 1) × π
    0.076385498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23997212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727806091308594 × 2 - 1) × π
    -0.455612182617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.43134788575526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23997212} λ = 0.23997212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43134788575526))-π/2
    2×atan(0.238986578446465)-π/2
    2×0.234586532954215-π/2
    0.46917306590843-1.57079632675     		φ = -1.10162326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23997212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.749390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10162326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.118363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70542 KachelY 95395 0.23997212 -1.10162326 13.749390 -63.118363
    Oben rechts KachelX + 1 70543 KachelY 95395 0.24002006 -1.10162326 13.752136 -63.118363
    Unten links KachelX 70542 KachelY + 1 95396 0.23997212 -1.10164493 13.749390 -63.119605
    Unten rechts KachelX + 1 70543 KachelY + 1 95396 0.24002006 -1.10164493 13.752136 -63.119605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10162326--1.10164493) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10162326--1.10164493) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23997212-0.24002006) × cos(-1.10162326) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452148863194961 × 6371000     		do = 138.097901131469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23997212-0.24002006) × cos(-1.10164493) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452129534695042 × 6371000     		du = 138.091997710078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10162326)-sin(-1.10164493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452148863194961-0.452129534695042)×R²
    abs(0.24002006-0.23997212)×1.93284999193133e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93284999193133e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93284999193133e-05×40589641000000     		ar = 19065.3293369212m²