Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70541 / 95543
↖ ↑ ↗
← S 63.301579°
E 13.746643°		 ← 137.23 m → S 63.301579°
E 13.749390°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.302813°
E 13.746643°		 ← 137.22 m →
18 831 m²		 S 63.302813°
E 13.749390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538188934326172 y=0.728939056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538188934326172 × 217)
    floor (0.538188934326172 × 131072)
    floor (70541.5)     		tx = 70541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728939056396484 × 217)
    floor (0.728939056396484 × 131072)
    floor (95543.5)     		ty = 95543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70541 / 95543 ti = "17/70541/95543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70541/95543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70541 ÷ 217
    70541 ÷ 131072     		x = 0.538185119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95543 ÷ 217
    95543 ÷ 131072     		y = 0.728935241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538185119628906 × 2 - 1) × π
    0.0763702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23992418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728935241699219 × 2 - 1) × π
    -0.457870483398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.43844254689902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23992418} λ = 0.23992418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43844254689902))-π/2
    2×atan(0.237297050056939)-π/2
    2×0.232987678344457-π/2
    0.465975356688914-1.57079632675     		φ = -1.10482097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23992418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.746643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10482097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.301579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70541 KachelY 95543 0.23992418 -1.10482097 13.746643 -63.301579
    Oben rechts KachelX + 1 70542 KachelY 95543 0.23997212 -1.10482097 13.749390 -63.301579
    Unten links KachelX 70541 KachelY + 1 95544 0.23992418 -1.10484251 13.746643 -63.302813
    Unten rechts KachelX + 1 70542 KachelY + 1 95544 0.23997212 -1.10484251 13.749390 -63.302813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10482097--1.10484251) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dl = 137.231340000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10482097--1.10484251) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dr = 137.231340000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23992418-0.23997212) × cos(-1.10482097) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449294382947878 × 6371000     		do = 137.226069389768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23992418-0.23997212) × cos(-1.10484251) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449275139357281 × 6371000     		du = 137.22019190187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10482097)-sin(-1.10484251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449294382947878-0.449275139357281)×R²
    abs(0.23997212-0.23992418)×1.9243590597573e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9243590597573e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9243590597573e-05×40589641000000     		ar = 18831.3140982201m²