Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70541 / 95426
↖ ↑ ↗
← S 63.156836°
E 13.746643°		 ← 137.91 m → S 63.156836°
E 13.749390°		 →
↑
137.87 m
↓
↑
137.87 m
↓
S 63.158076°
E 13.746643°		 ← 137.91 m →
19 014 m²		 S 63.158076°
E 13.749390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538188934326172 y=0.728046417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538188934326172 × 217)
    floor (0.538188934326172 × 131072)
    floor (70541.5)     		tx = 70541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728046417236328 × 217)
    floor (0.728046417236328 × 131072)
    floor (95426.5)     		ty = 95426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70541 / 95426 ti = "17/70541/95426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70541/95426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70541 ÷ 217
    70541 ÷ 131072     		x = 0.538185119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95426 ÷ 217
    95426 ÷ 131072     		y = 0.728042602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538185119628906 × 2 - 1) × π
    0.0763702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23992418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728042602539062 × 2 - 1) × π
    -0.456085205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43283392964348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23992418} λ = 0.23992418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43283392964348))-π/2
    2×atan(0.238631697651724)-π/2
    2×0.234250799003766-π/2
    0.468501598007532-1.57079632675     		φ = -1.10229473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23992418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.746643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10229473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.156836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70541 KachelY 95426 0.23992418 -1.10229473 13.746643 -63.156836
    Oben rechts KachelX + 1 70542 KachelY 95426 0.23997212 -1.10229473 13.749390 -63.156836
    Unten links KachelX 70541 KachelY + 1 95427 0.23992418 -1.10231637 13.746643 -63.158076
    Unten rechts KachelX + 1 70542 KachelY + 1 95427 0.23997212 -1.10231637 13.749390 -63.158076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10229473--1.10231637) × R
    2.1640000000156e-05 × 6371000     		dl = 137.868440000994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10229473--1.10231637) × R
    2.1640000000156e-05 × 6371000     		dr = 137.868440000994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23992418-0.23997212) × cos(-1.10229473) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451549848685572 × 6371000     		do = 137.914946681748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23992418-0.23997212) × cos(-1.10231637) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451530540378713 × 6371000     		du = 137.909049427838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10229473)-sin(-1.10231637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451549848685572-0.451530540378713)×R²
    abs(0.23997212-0.23992418)×1.93083068582012e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93083068582012e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93083068582012e-05×40589641000000     		ar = 19013.7120298452m²