Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70541 / 95374
↖ ↑ ↗
← S 63.092273°
E 13.746643°		 ← 138.22 m → S 63.092273°
E 13.749390°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
S 63.093515°
E 13.746643°		 ← 138.22 m →
19 100 m²		 S 63.093515°
E 13.749390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538188934326172 y=0.727649688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538188934326172 × 217)
    floor (0.538188934326172 × 131072)
    floor (70541.5)     		tx = 70541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727649688720703 × 217)
    floor (0.727649688720703 × 131072)
    floor (95374.5)     		ty = 95374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70541 / 95374 ti = "17/70541/95374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70541/95374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70541 ÷ 217
    70541 ÷ 131072     		x = 0.538185119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95374 ÷ 217
    95374 ÷ 131072     		y = 0.727645874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538185119628906 × 2 - 1) × π
    0.0763702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23992418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727645874023438 × 2 - 1) × π
    -0.455291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43034121086324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23992418} λ = 0.23992418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43034121086324))-π/2
    2×atan(0.239227281368985)-π/2
    2×0.234814218603703-π/2
    0.469628437207406-1.57079632675     		φ = -1.10116789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23992418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.746643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10116789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.092273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70541 KachelY 95374 0.23992418 -1.10116789 13.746643 -63.092273
    Oben rechts KachelX + 1 70542 KachelY 95374 0.23997212 -1.10116789 13.749390 -63.092273
    Unten links KachelX 70541 KachelY + 1 95375 0.23992418 -1.10118958 13.746643 -63.093515
    Unten rechts KachelX + 1 70542 KachelY + 1 95375 0.23997212 -1.10118958 13.749390 -63.093515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10116789--1.10118958) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dl = 138.186990000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10116789--1.10118958) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dr = 138.186990000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23992418-0.23997212) × cos(-1.10116789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452554980153398 × 6371000     		do = 138.221939704106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23992418-0.23997212) × cos(-1.10118958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452535638282206 × 6371000     		du = 138.216032198785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10116789)-sin(-1.10118958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452554980153398-0.452535638282206)×R²
    abs(0.23997212-0.23992418)×1.9341871191958e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9341871191958e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9341871191958e-05×40589641000000     		ar = 19100.065630344m²