Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7054 / 5548
↖ ↑ ↗
← N 75.726472°
W102.502441°		 ← 301.18 m → N 75.726472°
W102.491455°		 →
↑
301.22 m
↓
↑
301.22 m
↓
N 75.723763°
W102.502441°		 ← 301.24 m →
90 730 m²		 N 75.723763°
W102.491455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215286254882812 y=0.169326782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215286254882812 × 215)
    floor (0.215286254882812 × 32768)
    floor (7054.5)     		tx = 7054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169326782226562 × 215)
    floor (0.169326782226562 × 32768)
    floor (5548.5)     		ty = 5548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7054 / 5548 ti = "15/7054/5548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7054/5548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7054 ÷ 215
    7054 ÷ 32768     		x = 0.21527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5548 ÷ 215
    5548 ÷ 32768     		y = 0.1693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.5694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78900509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1693115234375 × 2 - 1) × π
    0.661376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07777697713171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78900509} λ = -1.78900509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07777697713171))-π/2
    2×atan(7.98669456056861)-π/2
    2×1.44623629741932-π/2
    2.89247259483864-1.57079632675     		φ = 1.32167627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78900509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.502441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32167627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.726472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7054 KachelY 5548 -1.78900509 1.32167627 -102.502441 75.726472
    Oben rechts KachelX + 1 7055 KachelY 5548 -1.78881335 1.32167627 -102.491455 75.726472
    Unten links KachelX 7054 KachelY + 1 5549 -1.78900509 1.32162899 -102.502441 75.723763
    Unten rechts KachelX + 1 7055 KachelY + 1 5549 -1.78881335 1.32162899 -102.491455 75.723763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32167627-1.32162899) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dl = 301.220879999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32167627-1.32162899) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dr = 301.220879999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78900509--1.78881335) × cos(1.32167627) × R
    0.000191739999999996 × 0.246551275680283 × 6371000     		do = 301.181007726824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78900509--1.78881335) × cos(1.32162899) × R
    0.000191739999999996 × 0.246597095859181 × 6371000     		du = 301.236980536604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32167627)-sin(1.32162899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246551275680283-0.246597095859181)×R²
    abs(-1.78881335--1.78900509)×4.58201788982315e-05×R²
    0.000191739999999996×4.58201788982315e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.58201788982315e-05×40589641000000     		ar = 90730.4382931106m²