Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7054 / 5402
↖ ↑ ↗
← N 52.133488°
W 25.004883°		 ← 1 499.70 m → N 52.133488°
W 24.982910°		 →
↑
1 499.99 m
↓
↑
1 499.99 m
↓
N 52.119999°
W 25.004883°		 ← 1 500.16 m →
2 249 878 m²		 N 52.119999°
W 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430572509765625 y=0.329742431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430572509765625 × 214)
    floor (0.430572509765625 × 16384)
    floor (7054.5)     		tx = 7054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329742431640625 × 214)
    floor (0.329742431640625 × 16384)
    floor (5402.5)     		ty = 5402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7054 / 5402 ti = "14/7054/5402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7054/5402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7054 ÷ 214
    7054 ÷ 16384     		x = 0.4305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5402 ÷ 214
    5402 ÷ 16384     		y = 0.3297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3297119140625 × 2 - 1) × π
    0.340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06995159951965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43641753} λ = -0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06995159951965))-π/2
    2×atan(2.91523839762354)-π/2
    2×1.24034867181834-π/2
    2.48069734363668-1.57079632675     		φ = 0.90990102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90990102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.133488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7054 KachelY 5402 -0.43641753 0.90990102 -25.004883 52.133488
    Oben rechts KachelX + 1 7055 KachelY 5402 -0.43603404 0.90990102 -24.982910 52.133488
    Unten links KachelX 7054 KachelY + 1 5403 -0.43641753 0.90966558 -25.004883 52.119999
    Unten rechts KachelX + 1 7055 KachelY + 1 5403 -0.43603404 0.90966558 -24.982910 52.119999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90990102-0.90966558) × R
    0.000235439999999976 × 6371000     		dl = 1499.98823999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90990102-0.90966558) × R
    0.000235439999999976 × 6371000     		dr = 1499.98823999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43641753--0.43603404) × cos(0.90990102) × R
    0.000383489999999986 × 0.613823891562393 × 6371000     		do = 1499.70361032054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43641753--0.43603404) × cos(0.90966558) × R
    0.000383489999999986 × 0.614009741004857 × 6371000     		du = 1500.15768042708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90990102)-sin(0.90966558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613823891562393-0.614009741004857)×R²
    abs(-0.43603404--0.43641753)×0.000185849442464359×R²
    0.000383489999999986×0.000185849442464359×6371000²
    0.000383489999999986×0.000185849442464359×40589641000000     		ar = 2249878.3392697m²