Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70539 / 95420
↖ ↑ ↗
← S 63.149394°
E 13.741150°		 ← 137.95 m → S 63.149394°
E 13.743897°		 →
↑
137.93 m
↓
↑
137.93 m
↓
S 63.150634°
E 13.741150°		 ← 137.94 m →
19 027 m²		 S 63.150634°
E 13.743897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538173675537109 y=0.728000640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538173675537109 × 217)
    floor (0.538173675537109 × 131072)
    floor (70539.5)     		tx = 70539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728000640869141 × 217)
    floor (0.728000640869141 × 131072)
    floor (95420.5)     		ty = 95420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70539 / 95420 ti = "17/70539/95420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70539/95420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70539 ÷ 217
    70539 ÷ 131072     		x = 0.538169860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95420 ÷ 217
    95420 ÷ 131072     		y = 0.727996826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538169860839844 × 2 - 1) × π
    0.0763397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23982831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.45599365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43254630824576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23982831} λ = 0.23982831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43254630824576))-π/2
    2×atan(0.23870034310562)-π/2
    2×0.23431574503621-π/2
    0.468631490072421-1.57079632675     		φ = -1.10216484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23982831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.741150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10216484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.149394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70539 KachelY 95420 0.23982831 -1.10216484 13.741150 -63.149394
    Oben rechts KachelX + 1 70540 KachelY 95420 0.23987625 -1.10216484 13.743897 -63.149394
    Unten links KachelX 70539 KachelY + 1 95421 0.23982831 -1.10218649 13.741150 -63.150634
    Unten rechts KachelX + 1 70540 KachelY + 1 95421 0.23987625 -1.10218649 13.743897 -63.150634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10216484--1.10218649) × R
    2.16500000000952e-05 × 6371000     		dl = 137.932150000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10216484--1.10218649) × R
    2.16500000000952e-05 × 6371000     		dr = 137.932150000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23982831-0.23987625) × cos(-1.10216484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451665738695188 × 6371000     		do = 137.950342473694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23982831-0.23987625) × cos(-1.10218649) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.45164642273572 × 6371000     		du = 137.94444288248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10216484)-sin(-1.10218649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451665738695188-0.45164642273572)×R²
    abs(0.23987625-0.23982831)×1.93159594673031e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93159594673031e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93159594673031e-05×40589641000000     		ar = 19027.3804598768m²