Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70538 / 95354
↖ ↑ ↗
← S 63.067402°
E 13.738403°		 ← 138.34 m → S 63.067402°
E 13.741150°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
S 63.068646°
E 13.738403°		 ← 138.33 m →
19 134 m²		 S 63.068646°
E 13.741150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538166046142578 y=0.727497100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538166046142578 × 217)
    floor (0.538166046142578 × 131072)
    floor (70538.5)     		tx = 70538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727497100830078 × 217)
    floor (0.727497100830078 × 131072)
    floor (95354.5)     		ty = 95354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70538 / 95354 ti = "17/70538/95354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70538/95354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70538 ÷ 217
    70538 ÷ 131072     		x = 0.538162231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95354 ÷ 217
    95354 ÷ 131072     		y = 0.727493286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538162231445312 × 2 - 1) × π
    0.076324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23978037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727493286132812 × 2 - 1) × π
    -0.454986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42938247287083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23978037} λ = 0.23978037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42938247287083))-π/2
    2×atan(0.239456747633888)-π/2
    2×0.235031252185936-π/2
    0.470062504371873-1.57079632675     		φ = -1.10073382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23978037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.738403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10073382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.067402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70538 KachelY 95354 0.23978037 -1.10073382 13.738403 -63.067402
    Oben rechts KachelX + 1 70539 KachelY 95354 0.23982831 -1.10073382 13.741150 -63.067402
    Unten links KachelX 70538 KachelY + 1 95355 0.23978037 -1.10075553 13.738403 -63.068646
    Unten rechts KachelX + 1 70539 KachelY + 1 95355 0.23982831 -1.10075553 13.741150 -63.068646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10073382--1.10075553) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dl = 138.314409999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10073382--1.10075553) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dr = 138.314409999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23978037-0.23982831) × cos(-1.10073382) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452942013570423 × 6371000     		do = 138.340149671826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23978037-0.23982831) × cos(-1.10075553) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452922658130761 × 6371000     		du = 138.334238022344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10073382)-sin(-1.10075553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452942013570423-0.452922658130761)×R²
    abs(0.23982831-0.23978037)×1.93554396616946e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93554396616946e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93554396616946e-05×40589641000000     		ar = 19134.0273486899m²