Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70537 / 95415
↖ ↑ ↗
← S 63.143190°
E 13.735656°		 ← 137.98 m → S 63.143190°
E 13.738403°		 →
↑
137.93 m
↓
↑
137.93 m
↓
S 63.144431°
E 13.735656°		 ← 137.97 m →
19 031 m²		 S 63.144431°
E 13.738403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538158416748047 y=0.727962493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538158416748047 × 217)
    floor (0.538158416748047 × 131072)
    floor (70537.5)     		tx = 70537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727962493896484 × 217)
    floor (0.727962493896484 × 131072)
    floor (95415.5)     		ty = 95415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70537 / 95415 ti = "17/70537/95415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70537/95415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70537 ÷ 217
    70537 ÷ 131072     		x = 0.538154602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95415 ÷ 217
    95415 ÷ 131072     		y = 0.727958679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538154602050781 × 2 - 1) × π
    0.0763092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23973243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727958679199219 × 2 - 1) × π
    -0.455917358398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.43230662374766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23973243} λ = 0.23973243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43230662374766))-π/2
    2×atan(0.238757562734609)-π/2
    2×0.234369879462339-π/2
    0.468739758924679-1.57079632675     		φ = -1.10205657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23973243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.735656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10205657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.143190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70537 KachelY 95415 0.23973243 -1.10205657 13.735656 -63.143190
    Oben rechts KachelX + 1 70538 KachelY 95415 0.23978037 -1.10205657 13.738403 -63.143190
    Unten links KachelX 70537 KachelY + 1 95416 0.23973243 -1.10207822 13.735656 -63.144431
    Unten rechts KachelX + 1 70538 KachelY + 1 95416 0.23978037 -1.10207822 13.738403 -63.144431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10205657--1.10207822) × R
    2.16500000000952e-05 × 6371000     		dl = 137.932150000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10205657--1.10207822) × R
    2.16500000000952e-05 × 6371000     		dr = 137.932150000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23973243-0.23978037) × cos(-1.10205657) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451762333159521 × 6371000     		do = 137.979844909363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23973243-0.23978037) × cos(-1.10207822) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451743018258869 × 6371000     		du = 137.973945641538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10205657)-sin(-1.10207822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451762333159521-0.451743018258869)×R²
    abs(0.23978037-0.23973243)×1.93149006517124e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93149006517124e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93149006517124e-05×40589641000000     		ar = 19031.4498165186m²