Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70536 / 95414
↖ ↑ ↗
← S 63.141949°
E 13.732910°		 ← 137.96 m → S 63.141949°
E 13.735656°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
S 63.143190°
E 13.732910°		 ← 137.95 m →
19 037 m²		 S 63.143190°
E 13.735656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538150787353516 y=0.727954864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538150787353516 × 217)
    floor (0.538150787353516 × 131072)
    floor (70536.5)     		tx = 70536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727954864501953 × 217)
    floor (0.727954864501953 × 131072)
    floor (95414.5)     		ty = 95414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70536 / 95414 ti = "17/70536/95414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70536/95414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70536 ÷ 217
    70536 ÷ 131072     		x = 0.53814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95414 ÷ 217
    95414 ÷ 131072     		y = 0.727951049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53814697265625 × 2 - 1) × π
    0.0762939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23968450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727951049804688 × 2 - 1) × π
    -0.455902099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43225868684804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23968450} λ = 0.23968450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43225868684804))-π/2
    2×atan(0.238769008306258)-π/2
    2×0.234380707736734-π/2
    0.468761415473467-1.57079632675     		φ = -1.10203491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23968450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.732910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10203491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.141949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70536 KachelY 95414 0.23968450 -1.10203491 13.732910 -63.141949
    Oben rechts KachelX + 1 70537 KachelY 95414 0.23973243 -1.10203491 13.735656 -63.141949
    Unten links KachelX 70536 KachelY + 1 95415 0.23968450 -1.10205657 13.732910 -63.143190
    Unten rechts KachelX + 1 70537 KachelY + 1 95415 0.23973243 -1.10205657 13.735656 -63.143190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10203491--1.10205657) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dl = 137.995860000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10203491--1.10205657) × R
    2.16600000000344e-05 × 6371000     		dr = 137.995860000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23968450-0.23973243) × cos(-1.10203491) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.451781656769707 × 6371000     		do = 137.956963827965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23968450-0.23973243) × cos(-1.10205657) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.451762333159521 × 6371000     		du = 137.951063131132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10203491)-sin(-1.10205657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451781656769707-0.451762333159521)×R²
    abs(0.23973243-0.23968450)×1.93236101859173e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93236101859173e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93236101859173e-05×40589641000000     		ar = 19037.0827312278m²