Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70529 / 95612
↖ ↑ ↗
← S 63.386600°
E 13.713684°		 ← 136.82 m → S 63.386600°
E 13.716431°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
S 63.387831°
E 13.713684°		 ← 136.82 m →
18 723 m²		 S 63.387831°
E 13.716431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538097381591797 y=0.729465484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538097381591797 × 217)
    floor (0.538097381591797 × 131072)
    floor (70529.5)     		tx = 70529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729465484619141 × 217)
    floor (0.729465484619141 × 131072)
    floor (95612.5)     		ty = 95612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70529 / 95612 ti = "17/70529/95612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70529/95612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70529 ÷ 217
    70529 ÷ 131072     		x = 0.538093566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95612 ÷ 217
    95612 ÷ 131072     		y = 0.729461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538093566894531 × 2 - 1) × π
    0.0761871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23934894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.45892333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44175019297281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23934894} λ = 0.23934894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44175019297281))-π/2
    2×atan(0.236513452047851)-π/2
    2×0.232245721996056-π/2
    0.464491443992112-1.57079632675     		φ = -1.10630488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23934894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.713684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10630488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.386600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70529 KachelY 95612 0.23934894 -1.10630488 13.713684 -63.386600
    Oben rechts KachelX + 1 70530 KachelY 95612 0.23939688 -1.10630488 13.716431 -63.386600
    Unten links KachelX 70529 KachelY + 1 95613 0.23934894 -1.10632636 13.713684 -63.387831
    Unten rechts KachelX + 1 70530 KachelY + 1 95613 0.23939688 -1.10632636 13.716431 -63.387831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10630488--1.10632636) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10630488--1.10632636) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23934894-0.23939688) × cos(-1.10630488) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.44796818765627 × 6371000     		do = 136.821015211365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23934894-0.23939688) × cos(-1.10632636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447948983369735 × 6371000     		du = 136.815149727938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10630488)-sin(-1.10632636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44796818765627-0.447948983369735)×R²
    abs(0.23939688-0.23934894)×1.92042865353459e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92042865353459e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92042865353459e-05×40589641000000     		ar = 18723.4287141179m²