Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70529 / 95412
↖ ↑ ↗
← S 63.139468°
E 13.713684°		 ← 138 m → S 63.139468°
E 13.716431°		 →
↑
137.93 m
↓
↑
137.93 m
↓
S 63.140708°
E 13.713684°		 ← 137.99 m →
19 034 m²		 S 63.140708°
E 13.716431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538097381591797 y=0.727939605712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538097381591797 × 217)
    floor (0.538097381591797 × 131072)
    floor (70529.5)     		tx = 70529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727939605712891 × 217)
    floor (0.727939605712891 × 131072)
    floor (95412.5)     		ty = 95412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70529 / 95412 ti = "17/70529/95412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70529/95412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70529 ÷ 217
    70529 ÷ 131072     		x = 0.538093566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95412 ÷ 217
    95412 ÷ 131072     		y = 0.727935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538093566894531 × 2 - 1) × π
    0.0761871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23934894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.45587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4321628130488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23934894} λ = 0.23934894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4321628130488))-π/2
    2×atan(0.238791901095617)-π/2
    2×0.234402365674809-π/2
    0.468804731349617-1.57079632675     		φ = -1.10199160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23934894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.713684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10199160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.139468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70529 KachelY 95412 0.23934894 -1.10199160 13.713684 -63.139468
    Oben rechts KachelX + 1 70530 KachelY 95412 0.23939688 -1.10199160 13.716431 -63.139468
    Unten links KachelX 70529 KachelY + 1 95413 0.23934894 -1.10201325 13.713684 -63.140708
    Unten rechts KachelX + 1 70530 KachelY + 1 95413 0.23939688 -1.10201325 13.716431 -63.140708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10199160--1.10201325) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dl = 137.932149999192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10199160--1.10201325) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dr = 137.932149999192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23934894-0.23939688) × cos(-1.10199160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451820294433112 × 6371000     		do = 137.997547774241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23934894-0.23939688) × cos(-1.10201325) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.451800980167937 × 6371000     		du = 137.991648700507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10199160)-sin(-1.10201325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451820294433112-0.451800980167937)×R²
    abs(0.23939688-0.23934894)×1.93142651752076e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93142651752076e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93142651752076e-05×40589641000000     		ar = 19033.8916238614m²