Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70528 / 95616
↖ ↑ ↗
← S 63.391522°
E 13.710937°		 ← 136.80 m → S 63.391522°
E 13.713684°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
S 63.392752°
E 13.710937°		 ← 136.79 m →
18 712 m²		 S 63.392752°
E 13.713684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538089752197266 y=0.729496002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538089752197266 × 217)
    floor (0.538089752197266 × 131072)
    floor (70528.5)     		tx = 70528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729496002197266 × 217)
    floor (0.729496002197266 × 131072)
    floor (95616.5)     		ty = 95616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70528 / 95616 ti = "17/70528/95616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70528/95616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70528 ÷ 217
    70528 ÷ 131072     		x = 0.5380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95616 ÷ 217
    95616 ÷ 131072     		y = 0.7294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5380859375 × 2 - 1) × π
    0.076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23930100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7294921875 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23930100} λ = 0.23930100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44194194057129))-π/2
    2×atan(0.236468105509096)-π/2
    2×0.232202777265412-π/2
    0.464405554530824-1.57079632675     		φ = -1.10639077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23930100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10639077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.391522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70528 KachelY 95616 0.23930100 -1.10639077 13.710937 -63.391522
    Oben rechts KachelX + 1 70529 KachelY 95616 0.23934894 -1.10639077 13.713684 -63.391522
    Unten links KachelX 70528 KachelY + 1 95617 0.23930100 -1.10641224 13.710937 -63.392752
    Unten rechts KachelX + 1 70529 KachelY + 1 95617 0.23934894 -1.10641224 13.713684 -63.392752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10639077--1.10641224) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10639077--1.10641224) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23930100-0.23934894) × cos(-1.10639077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447891396092727 × 6371000     		do = 136.797561091244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23930100-0.23934894) × cos(-1.10641224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447872199920792 × 6371000     		du = 136.791698086225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10639077)-sin(-1.10641224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447891396092727-0.447872199920792)×R²
    abs(0.23934894-0.23930100)×1.91961719351874e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91961719351874e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91961719351874e-05×40589641000000     		ar = 18711.5040231112m²