Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70527 / 95608
↖ ↑ ↗
← S 63.381679°
E 13.708191°		 ← 136.82 m → S 63.381679°
E 13.710937°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
S 63.382909°
E 13.708191°		 ← 136.81 m →
18 723 m²		 S 63.382909°
E 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538082122802734 y=0.729434967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538082122802734 × 217)
    floor (0.538082122802734 × 131072)
    floor (70527.5)     		tx = 70527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729434967041016 × 217)
    floor (0.729434967041016 × 131072)
    floor (95608.5)     		ty = 95608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70527 / 95608 ti = "17/70527/95608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70527/95608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70527 ÷ 217
    70527 ÷ 131072     		x = 0.538078308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95608 ÷ 217
    95608 ÷ 131072     		y = 0.72943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538078308105469 × 2 - 1) × π
    0.0761566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23925307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.4588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44155844537433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23925307} λ = 0.23925307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44155844537433))-π/2
    2×atan(0.236558807282529)-π/2
    2×0.232288674089425-π/2
    0.46457734817885-1.57079632675     		φ = -1.10621898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23925307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.708191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10621898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.381679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70527 KachelY 95608 0.23925307 -1.10621898 13.708191 -63.381679
    Oben rechts KachelX + 1 70528 KachelY 95608 0.23930100 -1.10621898 13.710937 -63.381679
    Unten links KachelX 70527 KachelY + 1 95609 0.23925307 -1.10624046 13.708191 -63.382909
    Unten rechts KachelX + 1 70528 KachelY + 1 95609 0.23930100 -1.10624046 13.710937 -63.382909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10621898--1.10624046) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10621898--1.10624046) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23925307-0.23930100) × cos(-1.10621898) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.448044984855221 × 6371000     		do = 136.815926106714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23925307-0.23930100) × cos(-1.10624046) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.448025781395299 × 6371000     		du = 136.810062099209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10621898)-sin(-1.10624046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448044984855221-0.448025781395299)×R²
    abs(0.23930100-0.23925307)×1.9203459921735e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9203459921735e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9203459921735e-05×40589641000000     		ar = 18722.7323757346m²