Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70525 / 95613
↖ ↑ ↗
← S 63.387831°
E 13.702698°		 ← 136.82 m → S 63.387831°
E 13.705444°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
S 63.389061°
E 13.702698°		 ← 136.81 m →
18 714 m²		 S 63.389061°
E 13.705444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538066864013672 y=0.729473114013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538066864013672 × 217)
    floor (0.538066864013672 × 131072)
    floor (70525.5)     		tx = 70525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729473114013672 × 217)
    floor (0.729473114013672 × 131072)
    floor (95613.5)     		ty = 95613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70525 / 95613 ti = "17/70525/95613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70525/95613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70525 ÷ 217
    70525 ÷ 131072     		x = 0.538063049316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95613 ÷ 217
    95613 ÷ 131072     		y = 0.729469299316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538063049316406 × 2 - 1) × π
    0.0761260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23915719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729469299316406 × 2 - 1) × π
    -0.458938598632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.44179812987243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23915719} λ = 0.23915719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44179812987243))-π/2
    2×atan(0.236502114597984)-π/2
    2×0.232234985123176-π/2
    0.464469970246353-1.57079632675     		φ = -1.10632636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23915719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.702698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10632636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.387831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70525 KachelY 95613 0.23915719 -1.10632636 13.702698 -63.387831
    Oben rechts KachelX + 1 70526 KachelY 95613 0.23920513 -1.10632636 13.705444 -63.387831
    Unten links KachelX 70525 KachelY + 1 95614 0.23915719 -1.10634783 13.702698 -63.389061
    Unten rechts KachelX + 1 70526 KachelY + 1 95614 0.23920513 -1.10634783 13.705444 -63.389061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10632636--1.10634783) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10632636--1.10634783) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23915719-0.23920513) × cos(-1.10632636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447948983369735 × 6371000     		do = 136.815149727938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23915719-0.23920513) × cos(-1.10634783) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.447929787817208 × 6371000     		du = 136.809286912103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10632636)-sin(-1.10634783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447948983369735-0.447929787817208)×R²
    abs(0.23920513-0.23915719)×1.91955525273846e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91955525273846e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91955525273846e-05×40589641000000     		ar = 18713.9099043191m²