Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7052 / 5549
↖ ↑ ↗
← N 75.723763°
W102.524414°		 ← 301.25 m → N 75.723763°
W102.513428°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
N 75.721054°
W102.524414°		 ← 301.31 m →
90 771 m²		 N 75.721054°
W102.513428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215225219726562 y=0.169357299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215225219726562 × 215)
    floor (0.215225219726562 × 32768)
    floor (7052.5)     		tx = 7052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169357299804688 × 215)
    floor (0.169357299804688 × 32768)
    floor (5549.5)     		ty = 5549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7052 / 5549 ti = "15/7052/5549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7052/5549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7052 ÷ 215
    7052 ÷ 32768     		x = 0.2152099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5549 ÷ 215
    5549 ÷ 32768     		y = 0.169342041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.569580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78938859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169342041015625 × 2 - 1) × π
    0.66131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07758522953323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78938859} λ = -1.78938859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07758522953323))-π/2
    2×atan(7.98516327788141)-π/2
    2×1.44621265741522-π/2
    2.89242531483044-1.57079632675     		φ = 1.32162899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78938859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32162899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.723763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7052 KachelY 5549 -1.78938859 1.32162899 -102.524414 75.723763
    Oben rechts KachelX + 1 7053 KachelY 5549 -1.78919684 1.32162899 -102.513428 75.723763
    Unten links KachelX 7052 KachelY + 1 5550 -1.78938859 1.32158170 -102.524414 75.721054
    Unten rechts KachelX + 1 7053 KachelY + 1 5550 -1.78919684 1.32158170 -102.513428 75.721054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32162899-1.32158170) × R
    4.72899999999221e-05 × 6371000     		dl = 301.284589999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32162899-1.32158170) × R
    4.72899999999221e-05 × 6371000     		dr = 301.284589999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78938859--1.78919684) × cos(1.32162899) × R
    0.000191749999999935 × 0.246597095859181 × 6371000     		do = 301.252691237486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78938859--1.78919684) × cos(1.32158170) × R
    0.000191749999999935 × 0.246642925177901 × 6371000     		du = 301.308678132035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32162899)-sin(1.32158170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246597095859181-0.246642925177901)×R²
    abs(-1.78919684--1.78938859)×4.58293187197145e-05×R²
    0.000191749999999935×4.58293187197145e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.58293187197145e-05×40589641000000     		ar = 90771.2275772461m²