Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7052 / 5385
↖ ↑ ↗
← N 52.362183°
W 25.048828°		 ← 1 491.99 m → N 52.362183°
W 25.026856°		 →
↑
1 492.22 m
↓
↑
1 492.22 m
↓
N 52.348763°
W 25.048828°		 ← 1 492.45 m →
2 226 713 m²		 N 52.348763°
W 25.026856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430450439453125 y=0.328704833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430450439453125 × 214)
    floor (0.430450439453125 × 16384)
    floor (7052.5)     		tx = 7052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328704833984375 × 214)
    floor (0.328704833984375 × 16384)
    floor (5385.5)     		ty = 5385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7052 / 5385 ti = "14/7052/5385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7052/5385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7052 ÷ 214
    7052 ÷ 16384     		x = 0.430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5385 ÷ 214
    5385 ÷ 16384     		y = 0.32867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32867431640625 × 2 - 1) × π
    0.3426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07647101786798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43718452} λ = -0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07647101786798))-π/2
    2×atan(2.93430614409483)-π/2
    2×1.24234441372041-π/2
    2.48468882744081-1.57079632675     		φ = 0.91389250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91389250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.362183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7052 KachelY 5385 -0.43718452 0.91389250 -25.048828 52.362183
    Oben rechts KachelX + 1 7053 KachelY 5385 -0.43680103 0.91389250 -25.026856 52.362183
    Unten links KachelX 7052 KachelY + 1 5386 -0.43718452 0.91365828 -25.048828 52.348763
    Unten rechts KachelX + 1 7053 KachelY + 1 5386 -0.43680103 0.91365828 -25.026856 52.348763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91389250-0.91365828) × R
    0.000234219999999952 × 6371000     		dl = 1492.21561999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91389250-0.91365828) × R
    0.000234219999999952 × 6371000     		dr = 1492.21561999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43718452--0.43680103) × cos(0.91389250) × R
    0.000383490000000042 × 0.610667964346794 × 6371000     		do = 1491.99300227144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43718452--0.43680103) × cos(0.91365828) × R
    0.000383490000000042 × 0.610853423311212 × 6371000     		du = 1492.44611835625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91389250)-sin(0.91365828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610667964346794-0.610853423311212)×R²
    abs(-0.43680103--0.43718452)×0.000185458964417573×R²
    0.000383490000000042×0.000185458964417573×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185458964417573×40589641000000     		ar = 2226713.34654948m²