Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70515 / 95375
↖ ↑ ↗
← S 63.093515°
E 13.675232°		 ← 138.22 m → S 63.093515°
E 13.677979°		 →
↑
138.25 m
↓
↑
138.25 m
↓
S 63.094759°
E 13.675232°		 ← 138.21 m →
19 108 m²		 S 63.094759°
E 13.677979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537990570068359 y=0.727657318115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537990570068359 × 217)
    floor (0.537990570068359 × 131072)
    floor (70515.5)     		tx = 70515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727657318115234 × 217)
    floor (0.727657318115234 × 131072)
    floor (95375.5)     		ty = 95375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70515 / 95375 ti = "17/70515/95375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70515/95375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70515 ÷ 217
    70515 ÷ 131072     		x = 0.537986755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95375 ÷ 217
    95375 ÷ 131072     		y = 0.727653503417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537986755371094 × 2 - 1) × π
    0.0759735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23867782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727653503417969 × 2 - 1) × π
    -0.455307006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.43038914776286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23867782} λ = 0.23867782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43038914776286))-π/2
    2×atan(0.239215813829672)-π/2
    2×0.234803371794203-π/2
    0.469606743588407-1.57079632675     		φ = -1.10118958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23867782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.675232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10118958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.093515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70515 KachelY 95375 0.23867782 -1.10118958 13.675232 -63.093515
    Oben rechts KachelX + 1 70516 KachelY 95375 0.23872576 -1.10118958 13.677979 -63.093515
    Unten links KachelX 70515 KachelY + 1 95376 0.23867782 -1.10121128 13.675232 -63.094759
    Unten rechts KachelX + 1 70516 KachelY + 1 95376 0.23872576 -1.10121128 13.677979 -63.094759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10118958--1.10121128) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dl = 138.250700000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10118958--1.10121128) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dr = 138.250700000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23867782-0.23872576) × cos(-1.10118958) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452535638282206 × 6371000     		do = 138.216032198705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23867782-0.23872576) × cos(-1.10121128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452516287280555 × 6371000     		du = 138.210121904705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10118958)-sin(-1.10121128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452535638282206-0.452516287280555)×R²
    abs(0.23872576-0.23867782)×1.93510016514575e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93510016514575e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93510016514575e-05×40589641000000     		ar = 19108.0546523463m²