Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70504 / 95258
↖ ↑ ↗
← S 62.947729°
E 13.645020°		 ← 138.88 m → S 62.947729°
E 13.647766°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
S 62.948978°
E 13.645020°		 ← 138.87 m →
19 288 m²		 S 62.948978°
E 13.647766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537906646728516 y=0.726764678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537906646728516 × 217)
    floor (0.537906646728516 × 131072)
    floor (70504.5)     		tx = 70504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726764678955078 × 217)
    floor (0.726764678955078 × 131072)
    floor (95258.5)     		ty = 95258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70504 / 95258 ti = "17/70504/95258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70504/95258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70504 ÷ 217
    70504 ÷ 131072     		x = 0.53790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95258 ÷ 217
    95258 ÷ 131072     		y = 0.726760864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53790283203125 × 2 - 1) × π
    0.0758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23815052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726760864257812 × 2 - 1) × π
    -0.453521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42478053050731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23815052} λ = 0.23815052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42478053050731))-π/2
    2×atan(0.240561253271443)-π/2
    2×0.23607559886013-π/2
    0.472151197720259-1.57079632675     		φ = -1.09864513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23815052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09864513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.947729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70504 KachelY 95258 0.23815052 -1.09864513 13.645020 -62.947729
    Oben rechts KachelX + 1 70505 KachelY 95258 0.23819845 -1.09864513 13.647766 -62.947729
    Unten links KachelX 70504 KachelY + 1 95259 0.23815052 -1.09866693 13.645020 -62.948978
    Unten rechts KachelX + 1 70505 KachelY + 1 95259 0.23819845 -1.09866693 13.647766 -62.948978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09864513--1.09866693) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09864513--1.09866693) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23815052-0.23819845) × cos(-1.09864513) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454803174845135 × 6371000     		do = 138.87962072116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23815052-0.23819845) × cos(-1.09866693) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.454783759831935 × 6371000     		du = 138.873692113317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09864513)-sin(-1.09866693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454803174845135-0.454783759831935)×R²
    abs(0.23819845-0.23815052)×1.94150131999082e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.94150131999082e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.94150131999082e-05×40589641000000     		ar = 19288.2732818836m²