Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70502 / 95361
↖ ↑ ↗
← S 63.076109°
E 13.639526°		 ← 138.30 m → S 63.076109°
E 13.642273°		 →
↑
138.25 m
↓
↑
138.25 m
↓
S 63.077353°
E 13.639526°		 ← 138.29 m →
19 119 m²		 S 63.077353°
E 13.642273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537891387939453 y=0.727550506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537891387939453 × 217)
    floor (0.537891387939453 × 131072)
    floor (70502.5)     		tx = 70502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727550506591797 × 217)
    floor (0.727550506591797 × 131072)
    floor (95361.5)     		ty = 95361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70502 / 95361 ti = "17/70502/95361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70502/95361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70502 ÷ 217
    70502 ÷ 131072     		x = 0.537887573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95361 ÷ 217
    95361 ÷ 131072     		y = 0.727546691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537887573242188 × 2 - 1) × π
    0.075775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23805464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727546691894531 × 2 - 1) × π
    -0.455093383789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.42971803116817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23805464} λ = 0.23805464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42971803116817))-π/2
    2×atan(0.239376409415197)-π/2
    2×0.234955269327378-π/2
    0.469910538654757-1.57079632675     		φ = -1.10088579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23805464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.639526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10088579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.076109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70502 KachelY 95361 0.23805464 -1.10088579 13.639526 -63.076109
    Oben rechts KachelX + 1 70503 KachelY 95361 0.23810258 -1.10088579 13.642273 -63.076109
    Unten links KachelX 70502 KachelY + 1 95362 0.23805464 -1.10090749 13.639526 -63.077353
    Unten rechts KachelX + 1 70503 KachelY + 1 95362 0.23810258 -1.10090749 13.642273 -63.077353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10088579--1.10090749) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dl = 138.250700000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10088579--1.10090749) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dr = 138.250700000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23805464-0.23810258) × cos(-1.10088579) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452806521010169 × 6371000     		do = 138.298766756346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23805464-0.23810258) × cos(-1.10090749) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452787172992572 × 6371000     		du = 138.292857373754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10088579)-sin(-1.10090749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452806521010169-0.452787172992572)×R²
    abs(0.23810258-0.23805464)×1.93480175974536e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93480175974536e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93480175974536e-05×40589641000000     		ar = 19119.4928259132m²