Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70501 / 95364
↖ ↑ ↗
← S 63.079840°
E 13.636780°		 ← 138.25 m → S 63.079840°
E 13.639526°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
S 63.081084°
E 13.636780°		 ← 138.25 m →
19 122 m²		 S 63.081084°
E 13.639526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537883758544922 y=0.727573394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537883758544922 × 217)
    floor (0.537883758544922 × 131072)
    floor (70501.5)     		tx = 70501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727573394775391 × 217)
    floor (0.727573394775391 × 131072)
    floor (95364.5)     		ty = 95364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70501 / 95364 ti = "17/70501/95364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70501/95364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70501 ÷ 217
    70501 ÷ 131072     		x = 0.537879943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95364 ÷ 217
    95364 ÷ 131072     		y = 0.727569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537879943847656 × 2 - 1) × π
    0.0757598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23800671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.45513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42986184186704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23800671} λ = 0.23800671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42986184186704))-π/2
    2×atan(0.239341987001684)-π/2
    2×0.234922712203493-π/2
    0.469845424406987-1.57079632675     		φ = -1.10095090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23800671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.636780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10095090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.079840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70501 KachelY 95364 0.23800671 -1.10095090 13.636780 -63.079840
    Oben rechts KachelX + 1 70502 KachelY 95364 0.23805464 -1.10095090 13.639526 -63.079840
    Unten links KachelX 70501 KachelY + 1 95365 0.23800671 -1.10097261 13.636780 -63.081084
    Unten rechts KachelX + 1 70502 KachelY + 1 95365 0.23805464 -1.10097261 13.639526 -63.081084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10095090--1.10097261) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dl = 138.314409999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10095090--1.10097261) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dr = 138.314409999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23800671-0.23805464) × cos(-1.10095090) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.452748467401364 × 6371000     		do = 138.252191085074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23800671-0.23805464) × cos(-1.10097261) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.452729109827576 × 6371000     		du = 138.246280017046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10095090)-sin(-1.10097261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452748467401364-0.452729109827576)×R²
    abs(0.23805464-0.23800671)×1.93575737882368e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93575737882368e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93575737882368e-05×40589641000000     		ar = 19121.8614488899m²