Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70500 / 95252
↖ ↑ ↗
← S 62.940233°
E 13.634033°		 ← 138.94 m → S 62.940233°
E 13.636780°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
S 62.941483°
E 13.634033°		 ← 138.94 m →
19 306 m²		 S 62.941483°
E 13.636780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537876129150391 y=0.726718902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537876129150391 × 217)
    floor (0.537876129150391 × 131072)
    floor (70500.5)     		tx = 70500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726718902587891 × 217)
    floor (0.726718902587891 × 131072)
    floor (95252.5)     		ty = 95252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70500 / 95252 ti = "17/70500/95252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70500/95252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70500 ÷ 217
    70500 ÷ 131072     		x = 0.537872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95252 ÷ 217
    95252 ÷ 131072     		y = 0.726715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537872314453125 × 2 - 1) × π
    0.07574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23795877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.45343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42449290910959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23795877} λ = 0.23795877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42449290910959))-π/2
    2×atan(0.240630453786643)-π/2
    2×0.236141012800121-π/2
    0.472282025600242-1.57079632675     		φ = -1.09851430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23795877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09851430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.940233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70500 KachelY 95252 0.23795877 -1.09851430 13.634033 -62.940233
    Oben rechts KachelX + 1 70501 KachelY 95252 0.23800671 -1.09851430 13.636780 -62.940233
    Unten links KachelX 70500 KachelY + 1 95253 0.23795877 -1.09853611 13.634033 -62.941483
    Unten rechts KachelX + 1 70501 KachelY + 1 95253 0.23800671 -1.09853611 13.636780 -62.941483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09851430--1.09853611) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09851430--1.09853611) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23795877-0.23800671) × cos(-1.09851430) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454919687101032 × 6371000     		do = 138.944182073471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23795877-0.23800671) × cos(-1.09853611) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.454900264479688 × 6371000     		du = 138.938249904974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09851430)-sin(-1.09853611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454919687101032-0.454900264479688)×R²
    abs(0.23800671-0.23795877)×1.94226213439119e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.94226213439119e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.94226213439119e-05×40589641000000     		ar = 19306.0917637906m²