Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 705 / 1489
↖ ↑ ↗
← S 62.995159°
W 56.074219°		 ← 8 875.16 m → S 62.995159°
W 55.898437°		 →
↑
8 863.02 m
↓
↑
8 863.02 m
↓
S 63.074866°
W 56.074219°		 ← 8 850.92 m →
78 553 284 m²		 S 63.074866°
W 55.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344482421875 y=0.727294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344482421875 × 211)
    floor (0.344482421875 × 2048)
    floor (705.5)     		tx = 705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727294921875 × 211)
    floor (0.727294921875 × 2048)
    floor (1489.5)     		ty = 1489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 705 / 1489 ti = "11/705/1489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/705/1489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 705 ÷ 211
    705 ÷ 2048     		x = 0.34423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1489 ÷ 211
    1489 ÷ 2048     		y = 0.72705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34423828125 × 2 - 1) × π
    -0.3115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97867974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97867974} λ = -0.97867974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42660213269287))-π/2
    2×atan(0.240123445243814)-π/2
    2×0.235661699504187-π/2
    0.471323399008374-1.57079632675     		φ = -1.09947293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97867974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09947293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.995159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 705 KachelY 1489 -0.97867974 -1.09947293 -56.074219 -62.995159
    Oben rechts KachelX + 1 706 KachelY 1489 -0.97561178 -1.09947293 -55.898437 -62.995159
    Unten links KachelX 705 KachelY + 1 1490 -0.97867974 -1.10086408 -56.074219 -63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 706 KachelY + 1 1490 -0.97561178 -1.10086408 -55.898437 -63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09947293--1.10086408) × R
    0.00139115000000012 × 6371000     		dl = 8863.01665000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09947293--1.10086408) × R
    0.00139115000000012 × 6371000     		dr = 8863.01665000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97867974--0.97561178) × cos(-1.09947293) × R
    0.00306795999999998 × 0.454065787061965 × 6371000     		do = 8875.15768678739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97867974--0.97561178) × cos(-1.10086408) × R
    0.00306795999999998 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 8850.92245227441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09947293)-sin(-1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454065787061965-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.97561178--0.97867974)×0.00123990933143081×R²
    0.00306795999999998×0.00123990933143081×6371000²
    0.00306795999999998×0.00123990933143081×40589641000000     		ar = 78553284.3745367m²