Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70499 / 96034
↖ ↑ ↗
← S 63.901148°
E 13.631286°		 ← 134.36 m → S 63.901148°
E 13.634033°		 →
↑
134.36 m
↓
↑
134.36 m
↓
S 63.902356°
E 13.631286°		 ← 134.36 m →
18 053 m²		 S 63.902356°
E 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537868499755859 y=0.732685089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537868499755859 × 217)
    floor (0.537868499755859 × 131072)
    floor (70499.5)     		tx = 70499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732685089111328 × 217)
    floor (0.732685089111328 × 131072)
    floor (96034.5)     		ty = 96034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70499 / 96034 ti = "17/70499/96034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70499/96034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70499 ÷ 217
    70499 ÷ 131072     		x = 0.537864685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96034 ÷ 217
    96034 ÷ 131072     		y = 0.732681274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537864685058594 × 2 - 1) × π
    0.0757293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23791083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732681274414062 × 2 - 1) × π
    -0.465362548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46197956461247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23791083} λ = 0.23791083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46197956461247))-π/2
    2×atan(0.231777002747831)-π/2
    2×0.227755453755324-π/2
    0.455510907510649-1.57079632675     		φ = -1.11528542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23791083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.631286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11528542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.901148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70499 KachelY 96034 0.23791083 -1.11528542 13.631286 -63.901148
    Oben rechts KachelX + 1 70500 KachelY 96034 0.23795877 -1.11528542 13.634033 -63.901148
    Unten links KachelX 70499 KachelY + 1 96035 0.23791083 -1.11530651 13.631286 -63.902356
    Unten rechts KachelX + 1 70500 KachelY + 1 96035 0.23795877 -1.11530651 13.634033 -63.902356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11528542--1.11530651) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dl = 134.364389999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11528542--1.11530651) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dr = 134.364389999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23791083-0.23795877) × cos(-1.11528542) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.439921184093286 × 6371000     		do = 134.363253193358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23791083-0.23795877) × cos(-1.11530651) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.439902244408056 × 6371000     		du = 134.357468525981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11528542)-sin(-1.11530651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439921184093286-0.439902244408056)×R²
    abs(0.23795877-0.23791083)×1.89396852293133e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89396852293133e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89396852293133e-05×40589641000000     		ar = 18053.2479278266m²