Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70499 / 95353
↖ ↑ ↗
← S 63.066158°
E 13.631286°		 ← 138.35 m → S 63.066158°
E 13.634033°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
S 63.067402°
E 13.631286°		 ← 138.34 m →
19 135 m²		 S 63.067402°
E 13.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537868499755859 y=0.727489471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537868499755859 × 217)
    floor (0.537868499755859 × 131072)
    floor (70499.5)     		tx = 70499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727489471435547 × 217)
    floor (0.727489471435547 × 131072)
    floor (95353.5)     		ty = 95353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70499 / 95353 ti = "17/70499/95353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70499/95353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70499 ÷ 217
    70499 ÷ 131072     		x = 0.537864685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95353 ÷ 217
    95353 ÷ 131072     		y = 0.727485656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537864685058594 × 2 - 1) × π
    0.0757293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23791083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727485656738281 × 2 - 1) × π
    -0.454971313476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.42933453597121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23791083} λ = 0.23791083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42933453597121))-π/2
    2×atan(0.239468226723097)-π/2
    2×0.235042108735793-π/2
    0.470084217471586-1.57079632675     		φ = -1.10071211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23791083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.631286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10071211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.066158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70499 KachelY 95353 0.23791083 -1.10071211 13.631286 -63.066158
    Oben rechts KachelX + 1 70500 KachelY 95353 0.23795877 -1.10071211 13.634033 -63.066158
    Unten links KachelX 70499 KachelY + 1 95354 0.23791083 -1.10073382 13.631286 -63.067402
    Unten rechts KachelX + 1 70500 KachelY + 1 95354 0.23795877 -1.10073382 13.634033 -63.067402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10071211--1.10073382) × R
    2.17100000001746e-05 × 6371000     		dl = 138.314410001113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10071211--1.10073382) × R
    2.17100000001746e-05 × 6371000     		dr = 138.314410001113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23791083-0.23795877) × cos(-1.10071211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452961368796602 × 6371000     		do = 138.346061256104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23791083-0.23795877) × cos(-1.10073382) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452942013570423 × 6371000     		du = 138.340149671826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10071211)-sin(-1.10073382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452961368796602-0.452942013570423)×R²
    abs(0.23795877-0.23791083)×1.93552261794072e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93552261794072e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93552261794072e-05×40589641000000     		ar = 19134.8450105649m²