Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70498 / 96736
↖ ↑ ↗
← S 64.736641°
E 13.628540°		 ← 130.32 m → S 64.736641°
E 13.631286°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
S 64.737814°
E 13.628540°		 ← 130.32 m →
16 987 m²		 S 64.737814°
E 13.631286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537860870361328 y=0.738040924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537860870361328 × 217)
    floor (0.537860870361328 × 131072)
    floor (70498.5)     		tx = 70498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738040924072266 × 217)
    floor (0.738040924072266 × 131072)
    floor (96736.5)     		ty = 96736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70498 / 96736 ti = "17/70498/96736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70498/96736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70498 ÷ 217
    70498 ÷ 131072     		x = 0.537857055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96736 ÷ 217
    96736 ÷ 131072     		y = 0.738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537857055664062 × 2 - 1) × π
    0.075714111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23786290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.47607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23786290} λ = 0.23786290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49563126814575))-π/2
    2×atan(0.224107088401714)-π/2
    2×0.220464393888734-π/2
    0.440928787777468-1.57079632675     		φ = -1.12986754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23786290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.628540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12986754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.736641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70498 KachelY 96736 0.23786290 -1.12986754 13.628540 -64.736641
    Oben rechts KachelX + 1 70499 KachelY 96736 0.23791083 -1.12986754 13.631286 -64.736641
    Unten links KachelX 70498 KachelY + 1 96737 0.23786290 -1.12988800 13.628540 -64.737814
    Unten rechts KachelX + 1 70499 KachelY + 1 96737 0.23791083 -1.12988800 13.631286 -64.737814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12986754--1.12988800) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12986754--1.12988800) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23786290-0.23791083) × cos(-1.12986754) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.4267796026254 × 6371000     		do = 130.32228582029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23786290-0.23791083) × cos(-1.12988800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.426761099419146 × 6371000     		du = 130.316635643666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12986754)-sin(-1.12988800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4267796026254-0.426761099419146)×R²
    abs(0.23791083-0.23786290)×1.85032062542945e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85032062542945e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85032062542945e-05×40589641000000     		ar = 16987.2277179492m²