Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70497 / 95457
↖ ↑ ↗
← S 63.195257°
E 13.625794°		 ← 137.73 m → S 63.195257°
E 13.628540°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
S 63.196495°
E 13.625794°		 ← 137.73 m →
18 962 m²		 S 63.196495°
E 13.628540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537853240966797 y=0.728282928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537853240966797 × 217)
    floor (0.537853240966797 × 131072)
    floor (70497.5)     		tx = 70497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728282928466797 × 217)
    floor (0.728282928466797 × 131072)
    floor (95457.5)     		ty = 95457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70497 / 95457 ti = "17/70497/95457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70497/95457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70497 ÷ 217
    70497 ÷ 131072     		x = 0.537849426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95457 ÷ 217
    95457 ÷ 131072     		y = 0.728279113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537849426269531 × 2 - 1) × π
    0.0756988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23781496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728279113769531 × 2 - 1) × π
    -0.456558227539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.4343199735317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23781496} λ = 0.23781496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4343199735317))-π/2
    2×atan(0.238277343833766)-π/2
    2×0.233915509913482-π/2
    0.467831019826964-1.57079632675     		φ = -1.10296531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23781496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.625794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10296531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.195257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70497 KachelY 95457 0.23781496 -1.10296531 13.625794 -63.195257
    Oben rechts KachelX + 1 70498 KachelY 95457 0.23786290 -1.10296531 13.628540 -63.195257
    Unten links KachelX 70497 KachelY + 1 95458 0.23781496 -1.10298692 13.625794 -63.196495
    Unten rechts KachelX + 1 70498 KachelY + 1 95458 0.23786290 -1.10298692 13.628540 -63.196495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10296531--1.10298692) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dl = 137.677309999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10296531--1.10298692) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dr = 137.677309999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23781496-0.23786290) × cos(-1.10296531) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450951424953361 × 6371000     		do = 137.732172670424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23781496-0.23786290) × cos(-1.10298692) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.450932136875134 × 6371000     		du = 137.726281594858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10296531)-sin(-1.10298692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450951424953361-0.450932136875134)×R²
    abs(0.23786290-0.23781496)×1.92880782272087e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92880782272087e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92880782272087e-05×40589641000000     		ar = 18962.1895006169m²