Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70493 / 95357
↖ ↑ ↗
← S 63.071135°
E 13.614807°		 ← 138.32 m → S 63.071135°
E 13.617554°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
S 63.072378°
E 13.614807°		 ← 138.32 m →
19 132 m²		 S 63.072378°
E 13.617554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537822723388672 y=0.727519989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537822723388672 × 217)
    floor (0.537822723388672 × 131072)
    floor (70493.5)     		tx = 70493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727519989013672 × 217)
    floor (0.727519989013672 × 131072)
    floor (95357.5)     		ty = 95357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70493 / 95357 ti = "17/70493/95357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70493/95357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70493 ÷ 217
    70493 ÷ 131072     		x = 0.537818908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95357 ÷ 217
    95357 ÷ 131072     		y = 0.727516174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537818908691406 × 2 - 1) × π
    0.0756378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23762321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727516174316406 × 2 - 1) × π
    -0.455032348632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.42952628356969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23762321} λ = 0.23762321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42952628356969))-π/2
    2×atan(0.23942231366771)-π/2
    2×0.23499868532015-π/2
    0.469997370640299-1.57079632675     		φ = -1.10079896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23762321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.614807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10079896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.071135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70493 KachelY 95357 0.23762321 -1.10079896 13.614807 -63.071135
    Oben rechts KachelX + 1 70494 KachelY 95357 0.23767115 -1.10079896 13.617554 -63.071135
    Unten links KachelX 70493 KachelY + 1 95358 0.23762321 -1.10082067 13.614807 -63.072378
    Unten rechts KachelX + 1 70494 KachelY + 1 95358 0.23767115 -1.10082067 13.617554 -63.072378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10079896--1.10082067) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dl = 138.314409999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10079896--1.10082067) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dr = 138.314409999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23762321-0.23767115) × cos(-1.10079896) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452883937695332 × 6371000     		do = 138.3224118047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23762321-0.23767115) × cos(-1.10082067) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.452864581615179 × 6371000     		du = 138.316499959596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10079896)-sin(-1.10082067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452883937695332-0.452864581615179)×R²
    abs(0.23767115-0.23762321)×1.93560801527437e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.93560801527437e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.93560801527437e-05×40589641000000     		ar = 19131.5739325077m²