Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7049 / 5403
↖ ↑ ↗
← N 52.119999°
W 25.114746°		 ← 1 500.20 m → N 52.119999°
W 25.092773°		 →
↑
1 500.37 m
↓
↑
1 500.37 m
↓
N 52.106505°
W 25.114746°		 ← 1 500.65 m →
2 251 192 m²		 N 52.106505°
W 25.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430267333984375 y=0.329803466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430267333984375 × 214)
    floor (0.430267333984375 × 16384)
    floor (7049.5)     		tx = 7049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329803466796875 × 214)
    floor (0.329803466796875 × 16384)
    floor (5403.5)     		ty = 5403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7049 / 5403 ti = "14/7049/5403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7049/5403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7049 ÷ 214
    7049 ÷ 16384     		x = 0.43023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5403 ÷ 214
    5403 ÷ 16384     		y = 0.32977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.1395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43833501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32977294921875 × 2 - 1) × π
    0.3404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06956810432269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43833501} λ = -0.43833501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06956810432269))-π/2
    2×atan(2.91412063204262)-π/2
    2×1.24023095474347-π/2
    2.48046190948694-1.57079632675     		φ = 0.90966558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43833501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90966558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.119999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7049 KachelY 5403 -0.43833501 0.90966558 -25.114746 52.119999
    Oben rechts KachelX + 1 7050 KachelY 5403 -0.43795151 0.90966558 -25.092773 52.119999
    Unten links KachelX 7049 KachelY + 1 5404 -0.43833501 0.90943008 -25.114746 52.106505
    Unten rechts KachelX + 1 7050 KachelY + 1 5404 -0.43795151 0.90943008 -25.092773 52.106505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90966558-0.90943008) × R
    0.000235499999999944 × 6371000     		dl = 1500.37049999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90966558-0.90943008) × R
    0.000235499999999944 × 6371000     		dr = 1500.37049999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43833501--0.43795151) × cos(0.90966558) × R
    0.000383500000000037 × 0.614009741004857 × 6371000     		do = 1500.19679898788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43833501--0.43795151) × cos(0.90943008) × R
    0.000383500000000037 × 0.614195603760768 × 6371000     		du = 1500.65091346335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90966558)-sin(0.90943008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614009741004857-0.614195603760768)×R²
    abs(-0.43795151--0.43833501)×0.000185862755911037×R²
    0.000383500000000037×0.000185862755911037×6371000²
    0.000383500000000037×0.000185862755911037×40589641000000     		ar = 2251191.7017801m²