Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7049 / 10872
↖ ↑ ↗
← S 50.625073°
W 25.114746°		 ← 1 550 m → S 50.625073°
W 25.092773°		 →
↑
1 549.75 m
↓
↑
1 549.75 m
↓
S 50.639010°
W 25.114746°		 ← 1 549.54 m →
2 401 745 m²		 S 50.639010°
W 25.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430267333984375 y=0.663604736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430267333984375 × 214)
    floor (0.430267333984375 × 16384)
    floor (7049.5)     		tx = 7049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663604736328125 × 214)
    floor (0.663604736328125 × 16384)
    floor (10872.5)     		ty = 10872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7049 / 10872 ti = "14/7049/10872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7049/10872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7049 ÷ 214
    7049 ÷ 16384     		x = 0.43023681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10872 ÷ 214
    10872 ÷ 16384     		y = 0.66357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.1395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43833501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66357421875 × 2 - 1) × π
    -0.3271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43833501} λ = -0.43833501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.027767127854))-π/2
    2×atan(0.357805002098112)-π/2
    2×0.34361105889713-π/2
    0.68722211779426-1.57079632675     		φ = -0.88357421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43833501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88357421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7049 KachelY 10872 -0.43833501 -0.88357421 -25.114746 -50.625073
    Oben rechts KachelX + 1 7050 KachelY 10872 -0.43795151 -0.88357421 -25.092773 -50.625073
    Unten links KachelX 7049 KachelY + 1 10873 -0.43833501 -0.88381746 -25.114746 -50.639010
    Unten rechts KachelX + 1 7050 KachelY + 1 10873 -0.43795151 -0.88381746 -25.092773 -50.639010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88357421--0.88381746) × R
    0.000243250000000028 × 6371000     		dl = 1549.74575000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88357421--0.88381746) × R
    0.000243250000000028 × 6371000     		dr = 1549.74575000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43833501--0.43795151) × cos(-0.88357421) × R
    0.000383500000000037 × 0.634392297664295 × 6371000     		do = 1549.99706144892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43833501--0.43795151) × cos(-0.88381746) × R
    0.000383500000000037 × 0.634204243907759 × 6371000     		du = 1549.53759374873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88357421)-sin(-0.88381746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634392297664295-0.634204243907759)×R²
    abs(-0.43795151--0.43833501)×0.0001880537565353×R²
    0.000383500000000037×0.0001880537565353×6371000²
    0.000383500000000037×0.0001880537565353×40589641000000     		ar = 2401745.34127758m²