Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70489 / 95992
↖ ↑ ↗
← S 63.850354°
E 13.603821°		 ← 134.61 m → S 63.850354°
E 13.606567°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
S 63.851564°
E 13.603821°		 ← 134.60 m →
18 120 m²		 S 63.851564°
E 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537792205810547 y=0.732364654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537792205810547 × 217)
    floor (0.537792205810547 × 131072)
    floor (70489.5)     		tx = 70489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732364654541016 × 217)
    floor (0.732364654541016 × 131072)
    floor (95992.5)     		ty = 95992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70489 / 95992 ti = "17/70489/95992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70489/95992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70489 ÷ 217
    70489 ÷ 131072     		x = 0.537788391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95992 ÷ 217
    95992 ÷ 131072     		y = 0.73236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537788391113281 × 2 - 1) × π
    0.0755767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23743146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73236083984375 × 2 - 1) × π
    -0.4647216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45996621482843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23743146} λ = 0.23743146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45996621482843))-π/2
    2×atan(0.232244121004688)-π/2
    2×0.2281987119067-π/2
    0.4563974238134-1.57079632675     		φ = -1.11439890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23743146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.603821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11439890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.850354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70489 KachelY 95992 0.23743146 -1.11439890 13.603821 -63.850354
    Oben rechts KachelX + 1 70490 KachelY 95992 0.23747940 -1.11439890 13.606567 -63.850354
    Unten links KachelX 70489 KachelY + 1 95993 0.23743146 -1.11442003 13.603821 -63.851564
    Unten rechts KachelX + 1 70490 KachelY + 1 95993 0.23747940 -1.11442003 13.606567 -63.851564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11439890--1.11442003) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11439890--1.11442003) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23743146-0.23747940) × cos(-1.11439890) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440717138335602 × 6371000     		do = 134.606358106823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23743146-0.23747940) × cos(-1.11442003) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440698170976501 × 6371000     		du = 134.600564987134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11439890)-sin(-1.11442003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440717138335602-0.440698170976501)×R²
    abs(0.23747940-0.23743146)×1.89673591010076e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89673591010076e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89673591010076e-05×40589641000000     		ar = 18120.2143492805m²