Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70489 / 95559
↖ ↑ ↗
← S 63.321317°
E 13.603821°		 ← 137.13 m → S 63.321317°
E 13.606567°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
S 63.322550°
E 13.603821°		 ← 137.13 m →
18 801 m²		 S 63.322550°
E 13.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537792205810547 y=0.729061126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537792205810547 × 217)
    floor (0.537792205810547 × 131072)
    floor (70489.5)     		tx = 70489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729061126708984 × 217)
    floor (0.729061126708984 × 131072)
    floor (95559.5)     		ty = 95559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70489 / 95559 ti = "17/70489/95559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70489/95559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70489 ÷ 217
    70489 ÷ 131072     		x = 0.537788391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95559 ÷ 217
    95559 ÷ 131072     		y = 0.729057312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537788391113281 × 2 - 1) × π
    0.0755767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.23743146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729057312011719 × 2 - 1) × π
    -0.458114624023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.43920953729295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23743146} λ = 0.23743146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43920953729295))-π/2
    2×atan(0.237115115279072)-π/2
    2×0.232815435128729-π/2
    0.465630870257459-1.57079632675     		φ = -1.10516546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23743146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.603821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10516546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.321317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70489 KachelY 95559 0.23743146 -1.10516546 13.603821 -63.321317
    Oben rechts KachelX + 1 70490 KachelY 95559 0.23747940 -1.10516546 13.606567 -63.321317
    Unten links KachelX 70489 KachelY + 1 95560 0.23743146 -1.10518698 13.603821 -63.322550
    Unten rechts KachelX + 1 70490 KachelY + 1 95560 0.23747940 -1.10518698 13.606567 -63.322550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10516546--1.10518698) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10516546--1.10518698) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23743146-0.23747940) × cos(-1.10516546) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.448986594519989 × 6371000     		do = 137.132062881337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23743146-0.23747940) × cos(-1.10518698) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.448967365467662 × 6371000     		du = 137.126189833801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10516546)-sin(-1.10518698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448986594519989-0.448967365467662)×R²
    abs(0.23747940-0.23743146)×1.92290523266525e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.92290523266525e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.92290523266525e-05×40589641000000     		ar = 18800.9407705085m²