Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70488 / 95348
↖ ↑ ↗
← S 63.059937°
E 13.601074°		 ← 138.35 m → S 63.059937°
E 13.603821°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
S 63.061182°
E 13.601074°		 ← 138.34 m →
19 144 m²		 S 63.061182°
E 13.603821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537784576416016 y=0.727451324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537784576416016 × 217)
    floor (0.537784576416016 × 131072)
    floor (70488.5)     		tx = 70488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727451324462891 × 217)
    floor (0.727451324462891 × 131072)
    floor (95348.5)     		ty = 95348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70488 / 95348 ti = "17/70488/95348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70488/95348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70488 ÷ 217
    70488 ÷ 131072     		x = 0.53778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95348 ÷ 217
    95348 ÷ 131072     		y = 0.727447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53778076171875 × 2 - 1) × π
    0.0755615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.23738353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.45489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42909485147311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23738353} λ = 0.23738353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42909485147311))-π/2
    2×atan(0.239525630423944)-π/2
    2×0.235096398445196-π/2
    0.470192796890391-1.57079632675     		φ = -1.10060353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23738353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10060353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.059937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70488 KachelY 95348 0.23738353 -1.10060353 13.601074 -63.059937
    Oben rechts KachelX + 1 70489 KachelY 95348 0.23743146 -1.10060353 13.603821 -63.059937
    Unten links KachelX 70488 KachelY + 1 95349 0.23738353 -1.10062525 13.601074 -63.061182
    Unten rechts KachelX + 1 70489 KachelY + 1 95349 0.23743146 -1.10062525 13.603821 -63.061182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10060353--1.10062525) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dl = 138.378119999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10060353--1.10062525) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dr = 138.378119999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23738353-0.23743146) × cos(-1.10060353) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.45305816846937 × 6371000     		do = 138.346762031894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23738353-0.23743146) × cos(-1.10062525) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453038805396128 × 6371000     		du = 138.340849284541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10060353)-sin(-1.10062525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45305816846937-0.453038805396128)×R²
    abs(0.23743146-0.23738353)×1.93630732427952e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93630732427952e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93630732427952e-05×40589641000000     		ar = 19143.7557413451m²