Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70485 / 95341
↖ ↑ ↗
← S 63.051225°
E 13.592835°		 ← 138.39 m → S 63.051225°
E 13.595581°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
S 63.052470°
E 13.592835°		 ← 138.38 m →
19 149 m²		 S 63.052470°
E 13.595581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537761688232422 y=0.727397918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537761688232422 × 217)
    floor (0.537761688232422 × 131072)
    floor (70485.5)     		tx = 70485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727397918701172 × 217)
    floor (0.727397918701172 × 131072)
    floor (95341.5)     		ty = 95341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70485 / 95341 ti = "17/70485/95341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70485/95341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70485 ÷ 217
    70485 ÷ 131072     		x = 0.537757873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95341 ÷ 217
    95341 ÷ 131072     		y = 0.727394104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537757873535156 × 2 - 1) × π
    0.0755157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.23723972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727394104003906 × 2 - 1) × π
    -0.454788208007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.42875929317577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23723972} λ = 0.23723972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42875929317577))-π/2
    2×atan(0.239606018723384)-π/2
    2×0.235172423529372-π/2
    0.470344847058743-1.57079632675     		φ = -1.10045148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23723972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.592835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10045148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.051225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70485 KachelY 95341 0.23723972 -1.10045148 13.592835 -63.051225
    Oben rechts KachelX + 1 70486 KachelY 95341 0.23728765 -1.10045148 13.595581 -63.051225
    Unten links KachelX 70485 KachelY + 1 95342 0.23723972 -1.10047320 13.592835 -63.052470
    Unten rechts KachelX + 1 70486 KachelY + 1 95342 0.23728765 -1.10047320 13.595581 -63.052470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10045148--1.10047320) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dl = 138.378119999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10045148--1.10047320) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dr = 138.378119999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23723972-0.23728765) × cos(-1.10045148) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453193712911128 × 6371000     		do = 138.388152157784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23723972-0.23728765) × cos(-1.10047320) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.453174351334313 × 6371000     		du = 138.382239867384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10045148)-sin(-1.10047320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453193712911128-0.453174351334313)×R²
    abs(0.23728765-0.23723972)×1.93615768145361e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.93615768145361e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.93615768145361e-05×40589641000000     		ar = 19149.4832606301m²